Jacobi 方法

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    Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，它是基于以下两个结论
    1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q,使得

                Q^T AQ = diag(λ₁ ,λ₂ ,…,λ_n ) (3.1)

其中λ_i(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。

    2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变。即设A=(a_ij)_n×n ,Q交矩阵,记B=Q^T AQ=(b_ij)_n×n , 则
                 
    Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。

    1 矩阵的旋转变换
设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵

      
易见 V_ij(φ)是正交矩阵, 记
               
注意到B=V_ij A的第i,j行元素以及 的第i,j列元素为
     
可得
     
如果a_ij≠0，取φ使得 则有
       
对A⁽¹⁾ 重复上述的过程，可得A⁽²⁾ ,这样继续下去, 得到一个矩阵序列{A^(k) }。可以证明， 虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元素零元素的个数单调增加，但可以保证非对角元素的平方和递减，我们以A与A⁽¹⁾ 为例进行讨论。
设    由式(3.4)
      
可得
      
这表明,在上述旋转变换下,非对角元素的平方和严格单调递减,因而由(3.2)可知，对角元素的平方和单调增加。

    2. Jacobi方法
 
    通过一系列旋转变换将A变成A^(k+1) ,求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法。计算过程如下
 
    1)令k=0, A^(k) =A 
 
    2) 求整数i,j, 使得
    3) 计算旋转矩阵
         
    4) 计算A^(k+1) 

    
    5) 计算 
    6) 若E(A^(k+1))<ε, 则 

            
为特征值， 

     Q^T = (V⁽⁰⁾ V⁽¹⁾ …V^(k+1))^T

的各列为相应的特征
向量；否则，k+1=>k
返回2,重复上述过程。
 例5 用Jacobi方
法求矩阵
 
的特征值和特征向量。

一般地，Jacobi法不能在有限步内将A化成对角阵，但有下面的定理 。
 
    定理3 设A为n阶使对称矩阵，对A用Jacobi法得到序列{A^(k) }, 其中A⁽⁰⁾ = A, 则
            
证明 由Jacobi法计算过程
            
故有
           (3.5)
另一方面，有计算A 的公式可以得到
          

于是有, 代入式(3.5)得
     
因为 所以