两个数的最大公约数

笔试面试题目中经常会遇到两个数最大公约数的问题，一种比较流行的方法是，用较大者除以较小者，若整除，较小者为最大公约数，若有余数，则求余数与较小者的最大公约数，递归实现。它是基于这样一个事实，即若x = k*m；y=k*n；那么y/x = n/m; y%x = k*(m%n)；即x和y%x也有最大公约数k.这种方法很容易编程实现，但是一个不足时计算机计算取模运算相当于除法，很耗时间，于是有了进一步改进。

版本一：

int gcd_ver_1(int x, int y){    if (x > y)        return gcd_ver_1(y, x);            int mod = y%x;    if (!mod)        return x;    else        return gcd_ver_1(x, mod);}

此版本采用尾递归的形式，因此可以化为循环。

同样地，我们发现y-x = k*(n-m)，于是x和y-x也有公约数k，这样就可以用加减法替代取模运算，性能有所提高。

版本二：

int gcd_ver_2(int x, int y){    if (x > y)        return gcd_ver_1(y, x);    if (!x)        return y;    else        return gcd_ver_2(x, y-x);}

但是这样也有个问题，如果数值太大，循环进行的次数比较多，而第一种方法呢，虽然循环次数少，但是有取模运算，能不能把两者结合起来呢。

我们发现，如果一个素数p，即是x的约数又是y的约数，那么，f(x,y) = p*f(x/p,y/p);

如果一个素数p，仅仅是x的约数，由于它是素数，所以，f(x,y) = f(x/p, y);同理，y也一样。

那么，考虑到2是一个素数，况且计算机对2的运算可以变为位运算，所以取p=2；

如果x,y均为偶数，那么f(x,y) = 2 * f(x>>1, y>>1)

如果x为偶数，y为奇数，那么f(x,y) = f(x>>1, y)

如果y为偶数，x为奇数，那么f(x,y) = f(x, y>>1)

如果x、y均为奇数，那么用第二个版本的逻辑，f(x,y) = f(x, y-x);不管是x-y还是y-x，必定有一个数是偶数，那么就可以回归上面的几步了。

int gcd_ver_3(int x, int y){    if (x > y)        return gcd_ver_3(y ,x);    if (!x)        return y;    else {        if (!(y & 0x1)) {            if (!(x & 0x1))                return (gcd_ver_3(x>>1, y>>1)) << 1;            else                return gcd_ver_3(x, y>>1);        }        else {            if (!(x & 0x1))                return (gcd_ver_3(x>>1, y));            else                return gcd_ver_3(x,y-x);        }    }}

摘自《编程之美——最大公约数》