LCA转RMQ 模版及解析 + LCA倍增法模版

九野的博客，转载请注明出处：http://blog.csdn.net/acmmmm/article/details/15490519

 

LCA:  最近公共祖先

所谓最近公共祖先，是针对一棵树上的任意2个不同节点来说的。

则 LCA(2,3) = 2 ; LCA(3,4) = 5; LCA(1,2) = 5; LCA(1,5) = 5;

 

RMQ: 区间最值问题, 给定一组数，在O(logn) 的复杂度内回答区间的最值 （一般采用线段树 或 ST算法解决 ，这里采用ST算法解决,可以把复杂度降到O(1) ）

ST算法：http://blog.csdn.net/acmmmm/article/details/15026475

LCA问题： 找到任意点的父节点（时常问题是给定树求任意点的最短路，对于任意点 u,v  答案为 ans = dis(u) + dis(v) - 2* dis( LCA(u,v) ) ，dis(u)表示u点与根节点的距离

 

对于无根树，在上述最短路问题中可直接转为有根树求解，不影响结果

 图解LCA转RMQ：点击打开链接

LCA转RMQ：

对树从根节点开始 DFS

得到3个数组

int deep [N];    //第i个访问的结点的深度

int index[N];     //第i个访问的结点的编号

int first[N];        //第i个结点是第几个访问的

我们可以在DFS中加个时间戳（就是DFS的次数）time 来表示这是第几次访问

***在遍历完一个子节点要再扫一遍父节点 再遍历其子节点*** 保证父节点始终穿插在子节点中

如父节点为a 子节点为b1 b2 b3 则遍历顺序是 a -> b1 -> a -> b2 -> a -> b3 -> a

（DFS过程顺便也可以求出dis数组）

对于任意节点 u v 和其公共祖先 c = LCA(u, v)

很显然红字可以得出结论 ：

先遍历u 再遍历 c 再遍历 v

那么在deep数组中的位置关系就是 [ u c v ]

这样：c 的深度一定是区间中最小的

 问题就转化为：求区间最小值 -> 即 RMQ问题

用u v 求出deep中最小值，再用index数组得到最小值对应的点标

用first可以定位 区间范围，若求红字部分 LCA(a, b1) ，区间可以为 [a,b1] 也可以为[b1 a b2 a...]

所以只需用点第一次 出现位置 （first记录）即可。

 

 

注意：图可能不连通，即图为森林（众多的树）此时可以建一个虚根，把虚根和每个联通块之间连一条 权值为 inf 的边

（或指定1点为根，并查集把和1不在一个集合的联通块 建权值为inf 的边）

 

log() 是以e为底的！！！

LCA倍增法：

#include"cstdio"#include"iostream"#include"queue"#include"algorithm"#include"set"#include"queue"#include"cmath"#include"string.h"#include"vector"using namespace std;#define N 10050struct Edge{      int from, to, dis, nex;  }edge[5*N];  int head[N],edgenum,dis[N],fa[N][20],dep[N];  //fa[i][x] 是i的第2^x个父亲（如果超过范围就是根）void add(int u,int v,int w){  Edge E={u,v,w,head[u]};edge[edgenum] = E;    head[u]=edgenum++;  }void bfs(int root){      queue<int> q;      fa[root][0]=root;dep[root]=0;dis[root]=0;      q.push(root);      while(!q.empty()){          int u=q.front();q.pop();          for(int i=1;i<20;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];          for(int i=head[u]; ~i;i=edge[i].nex){              int v=edge[i].to;if(v==fa[u][0])continue;              dep[v]=dep[u]+1;dis[v]=dis[u]+edge[i].dis;fa[v][0]=u;              q.push(v);        }      }  }  int Lca(int x,int y){      if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);      for(int i=0;i<20;i++)if((dep[x]-dep[y])&(1<<i))x=fa[x][i];      if(x==y)return x;      for(int i=19;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i])x=fa[x][i],y=fa[y][i];      return fa[x][0];}  void init(){memset(head, -1, sizeof head); edgenum = 0;}