HDU 4258 Covered Walkway（斜率优化DP）

来源：互联网发布：视频歌词制作软件编辑：程序博客网时间：2024/05/16 17:28

题目链接

和POJ 3709 K-Anonymous Sequence是完全类似的题目，只是状态方程变了而已。

dp[ i ] = min { dp[ j ] + (A[ i ] - A[ j + 1])*(A[ i ] - A[ j+1 ] ) + C | j<i }

单调队列维护下凸曲线。

记Y[ i ] = dp[ i ] + A[ i+1 ] *A[ i+1 ] , X[ i ] = A[ i+1 ]

rate( a, b) = (Y[b] - Y[a]) / (X[b] - X[a] )

"a<b && b不差于a" 即 " dp[ a ] + (A[ i ] - A[a+1])*(A[ i ] - A[a+1]) + C >= dp[ b ] + (A[ i ] - A[b+1])*(A[ i ] - A[b+1]) + C " 整理得 "rate(a,b) <= 2*A[ i ] "

故有：

① “a<b && b不差于a” 的等价条件是： rate(a , b ) <= 2*A[ i ]

② 最优决策点myque[p]具有性质： rate(myque[p-1] , myque[p] ) <= 2*A[ i ] < rate(myque[p] , myque[p+1] )

利用①筛选队首元素。利用②筛选队尾元素 , 其原理是若rate(a,b)>=rate(b,c) 则rate(a,b) <= 2*A[ i ] < rate(b,c) 恒不成立，即b不可能最优。

代码：

#include <cstdio>using namespace std;const int maxn=1000050;typedef long long LL;LL A[maxn] ,dp[maxn] , C;int myque[maxn] , head ,tail;int N ;#define Y(i) (dp[i]+A[i+1]*A[i+1])#define X(i) (A[i+1])bool head_check(int a,int b,int i){    return Y(b)-Y(a) <= 2*A[i]*(X(b)-X(a));}bool tail_check(int a,int b,int c){    return (Y(b)-Y(a))*(X(c)-X(b)) >= (Y(c)-Y(b))*(X(b)-X(a));}LL F(int j,int i){    return dp[j] + (A[i]-A[j+1])*(A[i]-A[j+1]) + C ;}int main(){    while(scanf("%d%I64d",&N,&C)!=EOF && N+C){        for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%I64d",&A[i]);        dp[0] = 0 ,myque[0] = 0 ,head = tail =0;        for(int i=1;i<=N;i++){            while(head < tail && head_check(myque[head],myque[head+1],i)) head++;            dp[i] = F(myque[head],i);            while(head < tail && tail_check(myque[tail-1],myque[tail],i)) tail--;            myque[++tail] = i;        }        printf("%I64d\n",dp[N]);    }    return 0;}