二维数组小结

树状数组可以扩充到二维。
问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负）
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：
  C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中，
    x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
    y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.
例：举个例子来看看C[][]的组成。
     设原始二维数组为：
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
         {a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
         {a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，
         {a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};

那么它对应的二维树状数组C[][]呢？
记:
  B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
  B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
  B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
  B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组

那么：
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,...
   这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,...
   这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,...
   这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,...
    这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组

搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？ 仔细研究一下,会发现:

（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为：

void update(int x, int y, int a){    for (int i = x; i <= s; i += lowbit(i))    {        for (int j = y; j <= s; j += lowbit(j))        {            c[i][j] += a;        }    }}

 

 

（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i][j](前i行和前j列)的函数为

 

int sum(int x, int y){    int ret = 0;    for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))    {        for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))        {            ret += c[i][j];        }    }    return ret;}int query(int x1, int y1, int x2, int y2){    return sum(x2, y2) - sum(x1 - 1, y2) - sum(x2, y1 - 1) + sum(x1 - 1, y1 - 1);}

比如：
    Sun(1,1)=C[1][1];  Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
    Sun(2,1)=C[2][1];  Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
    Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];

 

int lowbit(int x){    return x & (-x);}void update(int x, int y, int a){    for (int i = x; i <= s; i += lowbit(i))    {        for (int j = y; j <= s; j += lowbit(j))        {            c[i][j] += a;        }    }}int sum(int x, int y){    int ret = 0;    for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))    {        for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))        {            ret += c[i][j];        }    }    return ret;}int query(int x1, int y1, int x2, int y2){    return sum(x2, y2) - sum(x1 - 1, y2) - sum(x2, y1 - 1) + sum(x1 - 1, y1 - 1);}