Minimum Modular单纯数学

题目描述

N个不同的数a[1],a[2]...a[n]，你可以从中去掉K个数，并且找到一个正整数M，使得剩下的N - K个数，Mod M的结果各不相同，求M的最小值。

Input

第1行：2个数N, K，中间用空格分隔，N表示元素的数量，K为可以移除的数的数量(1 <= N <= 5000, 0 <= K <= 4, 1 <= a[i] <= 1000000)。

Output

输出符合条件的最小的M。

题目分析：

首先可以给定出一个暴力的方法，那就是枚举所有的i，从1开始，然后统计余数相同的数一共多出来多少个，很明显，当多出来的数大于k时则不满足情况，从小到大枚举i遇到第一个满足要求的返回即可。

但是这样很显然会超时，时间复杂度为O(N*10^6)，这里有一个优化如下：

统计出所有的两两组合差值的情况，如有两个数x,y如果x % i = y %m，那么(x - y) % i = 0，统计差值将在后面的计算中发挥作用。当算法枚举到一个m的时候，那么我们就可以在O(10^6/i)的时间内统计出所有差值满足(x-y)%i=0的组数，只要统计差值为1*i, 2*i, ... , p*i <= 10^6的总数tmp即可。那么这个组数与拥有相同余数多出来的数有什么关系呢？如果(x - y) % i = 0只能够说明他们对m的余数相等，但是不能保证tmp组的余数均相等或者均不相等。

那么如果所有的tmp组每组的余数不同：如tmp = 5, i = 13.  存在如下五组：(13, 26), (14, 27), (15, 28), (16, 29), (17, 30)。那么重复的数就是5。
如果所有tmp组每组的余数都相同：如tmp = 6, i= 13. 存在如下五组：(13, 26), (13, 39), (13, 52), (26, 39), (26, 52), (39, 52)。那么重复的数就是3。

而可能的取值就是在这两个数之间的，我们取一个下限，即如果下限超过了k则可以判定退出了。k+1个相同余数的数就将不满足题意，他们一共能够生成：C(2, k+1)种组合情况，所以每次验证之前加上这个验证即可。

#include<iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>using namespace std;int N,K;int hash[1000002];bool flag[1000002];int num[5002];int main(){while (cin >> N >> K){//Prime();int mN = 0;for (int i = 0; i < N; ++ i){cin >> num[i];for (int j = 0; j < i; ++ j){int x = num[i] - num[j];if (x < 0){x = -x;}hash[x]++;mN = max(mN,x);}}int hm = K*(K+1)>>1;for (int i = N-K;;++i){int tmp = 0;for (int j = i; j <= mN && ((tmp+=hash[j]) <= hm); j += i){}if (tmp <= hm){tmp = 0;memset(flag,0,sizeof(flag));for (int j = 0; j < N; ++ j){if (tmp  > K){break;}if (flag[num[j]%i]){tmp ++;}elseflag[num[j]%i] = 1;}}if (tmp <= K){cout << i << endl;break;}}}return 0;}