隐马尔可夫模型 HMM 原理及实现

简介

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）创立于20世纪70年代。主要用于行为识别，语音识别，文字识别等。

原理简述

隐马尔可夫模型由五个部分组成：状态空间S，观测空间O，初始状态概率空间PI，状态概率转移矩阵P以及观测值生成概率矩阵Q。另外，隐马尔可夫模型还包括一条观测链，一条隐藏链。（后面将详述）下面是隐马尔可夫模型示意图：

因此整个过程就是观测值随状态的转移而生成，而我们所关心的是通过已有的观测值来判断其隐藏的状态，即通过一长串的观测序列推算导致这一结果的可能的状态序列。例如：有两枚不同的硬币（一枚正面抛掷后正面朝上的概率比较大，另一个反面朝上的概率比较大），现在一个人按照其习惯每次选择其中的一枚硬币抛掷，共抛掷N次，将结果记录下来（设正面为1，反面为0），之后你就可以利用隐马尔可夫模型，通过已有结果反推这个人每次使用哪枚硬币进行投掷的。

实现方法

要实现上面所述原理就必须解决三个问题：评估问题（evaluation），解码问题（decoding）和学习问题（learning）

1、评估问题，即评估当前状态为真实状态的可能性。

最简单的方法有前向算法和后向算法（当然也可以联合使用这两种算法）。

前向算法：从前递归，一层一层计算概率，最后再求总和。

1）t=0（事实上 t 的首项应该为1，但是考虑到编程的方便这里就设首项为0）

，即 alpha(i,t)=PI(i)*Q(i,t)（伪代码，这只是为了表示方便易懂，与之后的代码可能会有出入）

PS：alpha(i,t)指t时刻状态为Si的概率（下面同义），PI(i)为状态Si的初始概率，Q(i,t)指的是 t 时刻观测值Vt由状态Si生成的概率。

2）t>0 && t<=n

，即alpha(t,i)=Sum[ alpha(j,t-1)*P(j,i)*Q(i,t) ]

PS：P(j,i)指由状态 Sj 转移到 Si 的概率

3）

，即将3）所算的所有状态Si的结果再求和。

PS：对应后面的Java类为 AlgorithmFront.java

后向算法：与前向算法相反

1）t>=0 && t<n

，即beta(i,t)=Sum[ beta(j,t+1)*P(i,j)*Q(j,t+1) ]

PS：beta(i,t)表示t时刻状态为Si的条件下，从t+1时刻到n生成相应观测序列的概率。

2）t=n

PS：因为下一个时刻就已结束，所以无论是什么状态都是确定的，所以概率都为1。

3）

，与前向算法相似，最后也是将所有结果进行求和。

PS：对应后面的Java类为 AlgorithmBack.java

2、解码问题，即如何根据观测值，状态转移概率矩阵，生成概率矩阵得到真正的状态序列。（有时候你完全可以根据先验知识给参数设值，这样就无需 学习步骤（Learning） 便可以解码了）

Viterbi算法：基本原理就是计算概率每一步最高时对应的状态序列

1）初始化

2）递归

3）终止

，

PS：表示 n 时刻沿着X1,X2,...Xn 且在 n 时刻状态Xn=Si 产生相应观测序列的最大概率

保存着状态序列信息。

4）回溯

根据  的结果便可知道相应的状态序列了。

PS：对应的后面的Java类为 HMMDecisionVbImp.java

3、学习问题，即如何通过观测值来获取初始状态概率，状态转移概率矩阵以及生成概率矩阵。

Baum-Welch算法：

Step1: 随机产生一组参数，并代入评估函数（evaluation，例如前向算法），计算结果。

Step2: 利用参数估算初始状态概率，状态转移概率矩阵以及生成概率矩阵

由于：

，即kis(i,j,t)=alpha(i,t)*P(i,j)*Q(j,t+1)*beta(j,t+1)

，即gamma(i,t)=alpha(i,t)*beta(i,t)

PS：a）伪代码中并没有除以，这主要是为了减少运算量，因为之后计算状态概率矩阵、生成矩阵这项都会被约掉。

b）kis(i,j,t)即，表示t时刻为状态Si，t+1时刻为状态Sj的概率

c）gamma(i,t)即，表示t时刻状态为Si的概率

d）相应的Java类为 Gammas.java，Ksis.java

所以：

1）估计概率转移概率矩阵

2）估计初始状态概率

，（注意，实际编程实现时这里还需除以之前漏除的）

3）估计概率生成矩阵

Step3: 将刚估计的参数代入 评估函数 进行计算，并与上一次评估的结果做比较，若差异小于某个阈值（thresh，例如 0.05）则接受。否则继续迭代计算。

PS：相应的Java类为 HMMLearnBwImp.java

Java具体实现

基础类 Package lxwo.utils

1、AlgorithmFront

package lxwo.utils;
public class AlgorithmFront{
private double[] Api;
private double[][] AP;
private double[][] AQ;
private int[] V;
public AlgorithmFront(double[] Api, double[][] AP, double[][] AQ, int[] V) {
this.Api = Api;
this.AP = AP;
this.AQ = AQ;
this.V = V;
}
public double calculate(int step) {
double Result = 0.0;
for (int Pindex = 0; Pindex < this.AP.length; Pindex++)
Result += this.alpha(Pindex, step);
return Result;
}
public double alpha(int toI, int step) {
double tempValue = 0.0;
if (step > 0) {
for (int pindex = 0; pindex < this.AP.length; pindex++)
tempValue += this.alpha(pindex, step - 1)* this.AP[pindex][toI] * this.AQ[toI][this.V[step]];
} else 
tempValue = Api[toI] * this.AQ[toI][this.V[step]];

return tempValue;
}
public double[] getApi() {
return Api;
}
public void setApi(double[] api) {
Api = api;
}
public double[][] getAP() {
return AP;
}
public void setAP(double[][] aP) {
AP = aP;
}
public double[][] getAQ() {
return AQ;
}
public void setAQ(double[][] aQ) {
AQ = aQ;
}
public int[] getV() {
return V;
}
public void setV(int[] v) {
V = v;
}
}

2、AlgorithmBack

package lxwo.utils;
public class AlgorithmBack{

private double[] Api;
private double[][] AP;
private double[][] AQ;
private int[] V;

public AlgorithmBack(double[] Api, double[][] AP, double[][] AQ, int[] V){
this.Api = Api;
this.AP = AP;
this.AQ = AQ;
this.V = V;
}

public double calculate(int step){
double Result = 0.0;

for (int Pindex = 0; Pindex < this.AP.length; Pindex++)
Result += this.belta(Pindex, step);

return Result;
}

public double belta(int fromI,int step){
double tempValue = 0.0;

if(step<this.V.length-1){
for(int pindex=0;pindex<this.AP.length;pindex++)
tempValue += this.belta(pindex, step+1)*this.AP[fromI][pindex]*this.AQ[pindex][this.V[step+1]];
}else{
tempValue = 1.0;
}

return tempValue;
}


public double[] getApi() {
return Api;
}


public void setApi(double[] api) {
Api = api;
}


public double[][] getAP() {
return AP;
}


public void setAP(double[][] aP) {
AP = aP;
}


public double[][] getAQ() {
return AQ;
}


public void setAQ(double[][] aQ) {
AQ = aQ;
}


public int[] getV() {
return V;
}


public void setV(int[] v) {
V = v;
}


}

3、 Ksis 

package lxwo.utils;
public class Ksis {

private double[] Api;
private double[][] AP;
private double[][] AQ;
private int[] V;

public Ksis(double[] Api, double[][] AP, double[][] AQ, int[] V){
this.Api = Api;
this.AP = AP;
this.AQ = AQ;
this.V = V;
}

public double calculate(int i,int j,int step){
AlgorithmFront f1 = new AlgorithmFront(this.Api,this.AP,this.AQ,this.V);
AlgorithmBack f2 = new AlgorithmBack(this.Api,this.AP,this.AQ,this.V);
// Considering the amount of calculation, we don't divide the result by p(V|lambda)
return f1.alpha(i, step)*this.AP[i][j]*this.AQ[j][this.V[step+1]]*f2.belta(j, step+1);
}

public double sumKsi(int i,int j, int T){
double tempValue = 0.0;
for(int pindex=0;pindex<T;pindex++)
tempValue += this.calculate(i, j, pindex);
return tempValue;
}


}

4、Gammas 

package lxwo.utils;
public class Gammas {


private double[] Api;
private double[][] AP;
private double[][] AQ;
private int[] V;

public Gammas(double[] Api, double[][] AP, double[][] AQ, int[] V){
this.Api = Api;
this.AP = AP;
this.AQ = AQ;
this.V = V;
}

public double calculate(int i,int step){
AlgorithmFront f1 = new AlgorithmFront(this.Api,this.AP,this.AQ,this.V);
AlgorithmBack f2 = new AlgorithmBack(this.Api,this.AP,this.AQ,this.V);
// Considering the amount of calculation, we don't divide the result by p(V|lambda)
return f1.alpha(i, step)*f2.belta(i, step);//step+1
}

public double sumGamma(int i, int T){
double tempValue = 0.0;
for(int pindex=0;pindex<T;pindex++)
tempValue += this.calculate(i, pindex);
return tempValue;
}

}

核心类 Package lxwo.core

1、HMMDecision &  HMMDecisionVbImp

package lxwo.core;
public interface HMMDecision {
public int[] recognize(int step);
}

package lxwo.core;
public class HMMDecisionVbImp implements HMMDecision {
private double[] pi;
private double[][] P;
private double[][] Q;
private int[] V;
private int[]phi;
public HMMDecisionVbImp(double[] pi, double[][] P, double[][] Q, int[] V) {
this.pi = pi;
this.P = P;
this.Q = Q;
this.V = V;
this.phi = new int[this.V.length];
for(int i=0;i<this.phi.length;i++)
this.phi[i]=-1;
}
@Override
public int[] recognize(int step) {
int[] tempFlag = new int[this.phi.length];
double sumTempMax = 0.0;
for(int dindex=0;dindex<this.P.length;dindex++){
double tempVal = this.delta(dindex, step);
if(tempVal>sumTempMax){
sumTempMax = tempVal;
tempFlag = this.phi.clone();
tempFlag[step]=dindex;
}
}
return tempFlag;
}
private double delta(int toI,int step) {
double tempValue = 1.0;
if (step == 0) {
tempValue = this.pi[toI]*this.Q[toI][step];
} else {
double tempMax = 0.0;
for(int jindex=0;jindex<this.P.length;jindex++){
double tempV = delta(jindex,step-1)*this.P[jindex][toI];
if(tempV>tempMax){
tempMax = tempV;
this.phi[step-1]=jindex;
}
}
tempValue = tempMax*this.Q[toI][this.V[step]];
}
return tempValue;
}
}

2、HMMLearn& HMMLearnBwImp

package lxwo.core;
public interface HMMLearn {
public boolean learn();
}

package lxwo.core;
import lxwo.utils.AlgorithmFront;
import lxwo.utils.Gammas;
import lxwo.utils.Ksis;


public class HMMLearnBwImp implements HMMLearn {


private double[] pi;
private double[][] P;
private double[][] Q;
private int[] V;
private double thresh;
private int deadline;


public HMMLearnBwImp(double[] pi, double[][] P, double[][] Q, int[] V,
double thresh, int deadline) {
this.pi = pi;
this.P = P;
this.Q = Q;
this.V = V;
this.thresh = thresh;
this.deadline = deadline;
}


@Override
public boolean learn() {
// TODO Auto-generated method stub
double flag1 = 0.0;
double flag2 = 0.0;
double flag3 = 0.0;
double[] tpi = new double[this.pi.length];
double[][] tP = new double[this.P.length][this.P[0].length];
double[][] tQ = new double[this.Q.length][this.Q[0].length];
int count = 0;
double diff = 1000.0;
flag3 = new AlgorithmFront(pi, P, Q, V).calculate(this.V.length - 1);
do {
count++;
// evaluate
flag1 = flag3;
// recalculate pi
double tempM1 = new AlgorithmFront(this.pi, this.P, this.Q, this.V)
.calculate(this.V.length - 1);
for (int i1 = 0; i1 < tpi.length; i1++)
tpi[i1] = (new Gammas(this.pi, this.P, this.Q, this.V)
.calculate(i1, 0)) / tempM1; // 'cause we don't divide it before, so we should make up here

// recalculate P
for (int i2 = 0; i2 < this.P.length; i2++)
for (int j2 = 0; j2 < this.P[0].length; j2++)
tP[i2][j2] = (new Ksis(this.pi, this.P, this.Q, this.V)
.sumKsi(i2, j2, this.V.length - 1))
/ (new Gammas(this.pi, this.P, this.Q, this.V)
.sumGamma(i2, this.V.length - 1));


// recalculate Q
for (int i3 = 0; i3 < this.Q.length; i3++) {
double tempM2 = new Gammas(this.pi, this.P, this.Q, this.V)
.sumGamma(i3, this.V.length);
for (int j3 = 0; j3 < this.V.length; j3++)
tQ[i3][this.V[j3]] += (new Gammas(this.pi, this.P, this.Q,
this.V).calculate(i3, j3)) / tempM2;
}

// re-evaluate
flag2 = new AlgorithmFront(tpi, tP, tQ, V)
.calculate(this.V.length - 1);
flag3 = flag2;

// reset args
this.pi = tpi.clone();
this.P = tP.clone();
this.Q = tQ.clone();
tQ = new double[this.Q.length][this.Q[0].length];

diff = Math.abs(flag1 - flag2);

} while (diff > thresh && count < this.deadline);

System.out.println("count: "+count);

if (count == this.deadline && diff > this.thresh)
return false;
else
return true;
}


public double[] getPi() {
return pi;
}


public void setPi(double[] pi) {
this.pi = pi;
}


public double[][] getP() {
return P;
}


public void setP(double[][] p) {
P = p;
}


public double[][] getQ() {
return Q;
}


public void setQ(double[][] q) {
Q = q;
}


}

测试类 Package lxwo.test

package lxwo.test;
import lxwo.core.HMMDecision;
import lxwo.core.HMMDecisionVbImp;
import lxwo.core.HMMLearnBwImp;
public class Test {
/**
* @param args

 * 实验：用两种骰子（0，1）投掷，其中一个骰子为正常的（0），另一个为灌铅（1），出现456的可能性较大。

 * 代码中用012345代替123456
*/
public static void main(String[] args) {
double[] api = { 0.5, 0.5 };
double[][] P = { { 0.9, 0.1 }, { 0.2, 0.8 }};
double[][] Q = { { 0.2, 0.16, 0.16, 0.16, 0.16, 0.16 }, {0, 0, 0.10, 0.30, 0.30, 0.30 } };
int[] V = {5,1,2,4,5,4,2,1,0,5};// -5,1,2,-4,-5,-4,2,1,0,5 这里标记符号的表示用第二种骰子投掷的

HMMLearnBwImp hlbi = new HMMLearnBwImp(api, P, Q, V, 0.05, 100);
if (hlbi.learn()) {
System.out.println("result:");
HMMDecision hd = new HMMDecisionVbImp(hlbi.getPi(), hlbi.getP(), hlbi.getQ(), V);
int[] result = hd.recognize(V.length-1);
for(int r:result)
System.out.print(r+"\t");
System.out.println();
} else {
System.out.println("Fail!");
}
}
}

观测序列：5，1，2，4，5，4，2，1，0，5

结果：0，0，0，1，1，1，0，0，0，0

除了第一项估计有误，其余都正确。（这里只是用一条观测值序列做的测试，如果有多条观测值，预测结果会好很多）

PS：由于这只是简单的实现HMM，因此其真正的实用性还不强（如果你把观测值加到>20个，其运算时间将是巨大的，因此实际应用中还需对上述代码进行改进）