C语言之树

树
　　树型结构是以分支关系定义的层次结构，它是一种重要的非线性结构。
　　树形结构在客观世界中广泛存在，例如人类的家庭族谱以及各种社会组织机构都可以用树形结构来表示，又如在计算机文件管理和信息组织方面也用到树形结构。

树的概念 

树（ tree ）是由一个或多个结点组成的有限集合 T 。 其中：
（ 1 ）一个特定的结点称为该树的根（ root ）结点 ; 
（ 2 ）结点之外的其余结点可分为 m （ m ≥ 0 ）个互不相交的有限集合 T 1 ,T 2 ,......,T m ，且其中每一个集合本身又是一棵树，称之为根的子树（ subtree ）。
  注意： 
    　树的递归定义刻画了树的固有特性：一棵非空树是由若干棵子树构成的，而子树又可由若干棵更小的子树构成。
       
　　在图 6.1 中是一棵由 11 个结点组成树 T 。其中 A 是根结点，其余结点分为三个互不相交的子集： T 1 ={B,E,F} ， T 2 ={C,G} ， T 3 ={D,H,I,J,K} 。 T 1 ,T 2 ,T 3 都是树根Ａ的子树，这三棵子树的根结点分别是 B,C,D 。每棵子树本身也是一棵树，可继续划分。例如子树 T 3 以 D 为根结点，它的其余结点又可分为三个互相交的子集 T 31 ={H} ， T 32 ={I,K} ， T 33 ={J} ，而其中 T 31 ， T 33 可都认为是仅有一个根结点的子树。 

树的表示 

（1）树形图表示
    树形图表示是树结构的主要表示方法。
    树的树形图表示中：结点用圆圈表示，结点的名字写在圆圈旁边（有时亦可写在圆圈内）。
                    
用该定义来分析上图所示的树： 
  图中的树由结点的有限集T={A，B，C，D，E，F，C，H，I，J}所构成，其中A是根结点，T中其余结点可分成三个互不相交的子集：
          T₁={B，E，F，I，J}，
          T₂={C}，
          T₃={D，G，H}。
    T₁、T₂和T₃是根A的三棵子树，且本身又都是一棵树。例如T₁，其根为B，其余结点可分为两个互不相交的的子集T₁₁={E}和T₁₂={F，I，J}，它们都是B的子树。显然T₁₁是只含一个根结点E的树，而T₁₂的根F又有两棵互不相交的子树{I}和{J}，其本身又都是只含一个根结点的树。
　　
（2）树的其他表示法
    
① 集合包含关系文氏图法
    　是用集合的包含关系来描述树结构。
  上图树的嵌套集合表示法如图(a)        
② 凹入表表示法
    　类似于书的目录，上图树的凹入表示法如图(b)
③ 广义表表示法
    　用广义表的形式表示的。上图树的广义表表示法
　　（A（B（E，F（I，J）），C，D（G，H））） 

树结构的基本术语

（1） 结点的度(Degree) 
    　树中的一个结点拥有的子树数称为该结点的度(Degree)。
    　一棵树的度是指该树中结点的最大度数。
    　度为零的结点称为叶子(Leaf)或终端结点。
    　度不为零的结点称分支结点或非终端结点。
    　除根结点之外的分支结点统称为内部结点。
    　根结点又称为开始结点。
（2） 孩子(Child)和双亲(Parents)
    　树中某个结点的子树之根称为该结点的孩子(Child)或儿子，相应地，该结点称为孩子的双亲(Parents)或父亲。
    　同一个双亲的孩子称为兄弟(Sibling)。
（3）祖先(Ancestor)和子孙(Descendant)
①路径（path）
    　若树中存在一个结点序列k₁，k₂，…，k_i，使得k_i是k_i+1的双亲(1≤i<j)，则称该结点序列是从k_l到k_j的一条路径(Path)或道路。
    　路径的长度指路径所经过的边(即连接两个结点的线段)的数目，等于j-1。
  注意：
    　若一个结点序列是路径，则在树的树形图表示中，该结点序列"自上而下"地通过路径上的每条边。
    　从树的根结点到树中其余结点均存在一条惟一的路径。
②祖先(Ancestor)和子孙(Descendant)
    　若树中结点k到k_s存在一条路径，则称k是k_s的祖先(Ancestor)，k_s是k的子孙(Descendant)。
    　一个结点的祖先是从根结点到该结点路径上所经过的所有结点，而一个结点的子孙则是以该结点为根的子树中的所有结点。
  约定：
    　结点k的祖先和子孙不包含结点k本身。
（4）结点的层数(Level)和树的高度（Height）
    　结点的层数(Level)从根起算：
        根的层数为1
        其余结点的层数等于其双亲结点的层数加1。
    　双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
    　树中结点的最大层数称为树的高度(Height)或深度(Depth)。
  注意，
    　很多文献中将树根的层数定义为0。
（5）有序树(OrderedTree)和无序树(UnoderedTree)
    　若将树中每个结点的各子树看成是从左到右有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树(OrderedTree)；否则称为无序树(UnoderedTree)。
  注意：
    　若不特别指明，一般讨论的树都是有序树。
（6）森林(Forest)
    　森林(Forest)是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。
    　树和森林的概念相近。删去一棵树的根，就得到一个森林；反之，加上一个结点作树根，森林就变为一棵树。

树形结构的逻辑特征

    　树形结构的逻辑特征可用树中结点之间的父子关系来描述：
（1） 树中任一结点都可以有零个或多个直接后继(即孩子)结点，但至多只能有一个直接前趋(即双亲)结点。
（2） 树中只有根结点无前趋，它是开始结点；叶结点无后继，它们是终端结点。
（3） 祖先与子孙的关系是对父子关系的延拓，它定义了树中结点之间的纵向次序。
（4） 有序树中，同一组兄弟结点从左到右有长幼之分。
    对这一关系加以延拓，规定若k₁和k₂是兄弟，且k₁在k₂的左边，则k_l的任一子孙都在k₂的任一子孙的左边，那么就定义了树中结点之间的横向次序。