判断三维模型是否是闭合的算法

基于多边形网格的三维模型在我们的工作中是最常见的，这里，我们只针对被多边形面片“离散化”的三维模型。

计算机图形学相关的项目（比如快速成型，逆向工程等等）中，经常的需要判断三维模型是否闭合，最常规的做法就是对每个n边形面片进行判断，如果每个n边形面片都与其他n个m边形面片相邻（m可以等于n，也可以不等于），那么这个三维模型就是闭合的，这样做的时间复杂度是：O（n方）；对比较复杂的模型，比如：几万个甚至更多的n边形面片，这个复杂度过大了，会影响系统效率。

这里，提出一个效率比较好的方法，假设三维模型网格的边数为：line_count，组成三维模型的w个n边形面片分别为：polygon1，polygon2，……polygonw；它们的边数依次是：n1，n2，……nw，则假如是闭合的三维模型，就满足：line_count*2=polygon1*n1+polygon2*n2+……+polygonw*nw。否则（line_count*2!=polygon1*n1+polygon2*n2+……+polygonw*nw），就是不闭合的三维模型；使用这个公式，除了line_count，其他变量都为已知，时间复杂度为：O（n*logn）。这是因为：如果三维模型闭合，则每条边必然是两个n边形面片的邻边，我们把邻边看成是两条边，则顺利成章的出来了上面的公式。在模型离散化表示中，三角面片是最常见的，下面我们将以三角面片为例进行阐述，其他的可以类推。

在中国图像图形学报上的一篇“三维散乱点集的曲面三角剖分”上有这样一个公式，也印证了我的想法，看下图：

 

下面呈上简单的代码，代码中使用了红黑树，红黑树相关的内容，详见我的另一篇博文：红黑树的代码实现。这里代码略去：

struct Section{Triangle** tri;int tri_count;};enum SectionType{SECTION_TYPE_CLOSED, SECTION_TYPE_CONNECTED, SECTION_DETACH, SECTION_TYPE_UNDEFINE};//获得三维模型中点的个数static int get_vertex_count(Triangle ** pTri,int tri_num){float3* vertex_collection=new float3[tri_num*5];int i = 0;RB_Tree tree_vertex;initial_tree_with_vertex( pTri, tree_vertex, vertex_collection, i );for ( int j = 1; j != tri_num; ++j ){add__tree_with_vertex( pTri, tree_vertex, vertex_collection, i, j );}delete[] vertex_collection;return tree_vertex.size;}//获得三维模型中边的数量static int get_line_count( Triangle** pTri,int tri_num){float3* line_center_collection = new float3[tri_num*5];int i = 0;RB_Tree tree_line;initial_tree_for_judgeTopological( pTri, tree_line, line_center_collection, i );for ( int j = 1; j != tri_num; ++j ){add__tree_for_judgeTopological( pTri, tree_line, line_center_collection, i, j );}delete[] line_center_collection;return tree_line.size;}/// <summary>   ///获得模型的拓扑结构（连通，闭合，分离）/// </summary>   /// <param name="sect">三维模型</param>    /// <returns>模型的拓扑结构（连通，闭合，分离）</returns>  SectionType get_section_type(Section *sect){LinkObject object;int vertex_count=get_vertex_count(sect->tri,sect->tri_count);int line_count=get_line_count(sect->tri,sect->tri_count);if(line_count<vertex_count-1){return SECTION_DETACH;}split_STL_model(object,sect->tri,sect->tri_count);if(object.m_pEnd!=NULL){return SECTION_DETACH;}else if(line_count * 2 == sect->tri_count * 3 ){return SECTION_TYPE_CLOSED;}else if(line_count * 2 > sect->tri_count * 3){return SECTION_TYPE_CONNECTED;}return SECTION_TYPE_UNDEFINE;}

参考文献：

1，三维散乱点集的曲面三角剖分 张永春，达飞鹏，宋文忠（东南大学自动化研究所）