数论练习2：M - Being a Good Boy in Spring Festival (SG函数融汇贯通）

Description

一年在外 父母时刻牵挂
春节回家 你能做几天好孩子吗
寒假里尝试做做下面的事情吧

陪妈妈逛一次菜场
悄悄给爸爸买个小礼物
主动地 强烈地 要求洗一次碗
某一天早起 给爸妈用心地做回早餐

如果愿意 你还可以和爸妈说
咱们玩个小游戏吧 ACM课上学的呢～

下面是一个二人小游戏：桌子上有M堆扑克牌；每堆牌的数量分别为Ni(i=1…M)；两人轮流进行；每走一步可以任意选择一堆并取走其中的任意张牌；桌子上的扑克全部取光，则游戏结束；最后一次取牌的人为胜者。
现在我们不想研究到底先手为胜还是为负，我只想问大家：
――“先手的人如果想赢，第一步有几种选择呢？”

 

Input

输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占2行，首先一行包含一个整数M(1<M<=100)，表示扑克牌的堆数，紧接着一行包含M个整数Ni(1<=Ni<=1000000，i=1…M)，分别表示M堆扑克的数量。M为0则表示输入数据的结束。

 

Output

如果先手的人能赢，请输出他第一步可行的方案数，否则请输出0，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

35 7 90

 

Sample Output

1

思路：（1）初步理解：这题有了一题的理解这题还有PPT的讲解，知道第一步是什么求出来的了……

（2）加深理解：这也就是说对于一个必胜态，我们的目的是要把必胜状态转化为必败状态从而使得先手胜利。若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai‘后满足a1^a2^...^ai’^...^an=0。若a1^a2^...^an=sg，则一定存在某个ai，有ai^sg<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai=ai^sg，此时a1^a2^...^ai’^...^an = a1^a2^...^an^sg=0。（这里的判断就是采用了异或的性质）……这两句话从PPT中来的，我感觉说得有点让人晕……我还说得清楚一点吧！

（3）几乎理解：因为由三堆石头举例再拓展而来：（a,b,c)=sg,即：a^b^c=sg，那么必有：(a^b^c)^sg=0,这不就转换为奇异局势了嘛！（因为两个相同的数二进制是一样的，所以异或为0），而(a^b^c)^sg=0可以写成(a^sg)^b^c=0、a^(b^sg)^c=0、a^b^(c^sg)=0，即把其中一个数变为ai=ai^sg，其结果都可以变成奇异局势，那么就可以理解好多堆石头的情况了……

（4）全部理解：但是理解了这个，新的难理解的问题又来了！！！因为可以找到一个数ai^sg然后所以的数异或后为0才可以判断其符合为赢，但是为什么PPT中讲解的判断是只要：a[i]>sg^a[i]就可以判断了呢，我想了一会才发现因为ai^sg是唯一的值，刚开始我理解错了，以为ai以内可能存在多个值使得先手赢呢。因为先手不管取多少都会使ai变小，所以只要ai^sg小于ai就可以判断符合了！

#include<iostream>#include<map>#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<algorithm>#include<stack>#include<queue>#include<set>using namespace std;int main(){    int t;    while(cin>>t&&t)    {        int a[105],i,sg=0,sum=0;        for(i=0;i<t;i++)        {            cin>>a[i];            sg^=a[i];        }        if(sg==0) {cout<<0<<endl;continue;}        for(i=0;i<t;i++)        {            int s=sg^a[i];            if(a[i]>s) sum++;        }        cout<<sum<<endl;    }    return 0;}