类Nim取石子游戏

题目：https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3060

题意：有n堆石子，分别有个，这里，两个游戏者轮流操作，每次可以选一堆，拿走至少一个石子，但

是不能拿走超过一半的石子。比如，若有3堆石子，每堆分别有5,1,2个，则在下一轮中，游戏者可以从第一堆中拿走1个或者

2个，第二堆中不能拿，第三堆只能拿一个。谁不能拿石子谁就输。

分析：本题和Nim游戏不同，但是也可以看成n个单堆游戏之和。遗憾的是，即使单堆游戏，由于范围太大，也不能按照定

义求出所有的SG值，我们可以先写一个递推程序，然后找找规律。

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;const int N = 55;int SG[N];bool vis[N];int main(){    SG[1] = 0;    printf("%d ",SG[1]);    for(int i=2;i<N;i++)    {        memset(vis,0,sizeof(vis));        for(int j=1;j*2 <= i;j++) vis[SG[i-j]] = 1;        for(int j=0;;j++)        {            if(!vis[j])            {                SG[i] = j;                break;            }        }        printf("%d ",SG[i]);    }    puts("");    return 0;}

我们发现：当n为偶数时，SG(n) = n / 2 ；当n为奇数时，SG(n) = SG(n / 2)，所以本题很容易解出。

#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;typedef long long LL;LL SG(LL x){    return x % 2 == 0 ? x / 2 : SG(x / 2);}int main(){    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        int n;        LL ans = 0;        cin>>n;        while(n--)        {            LL x;            cin>>x;            ans ^= SG(x);        }        if(ans) cout<<"YES"<<endl;        else cout<<"NO"<<endl;    }    return 0;}

题目：有N(N <= 20000)堆石子，第i堆有个()。两人轮流取，每次可以选择一堆石子，取一个或者多个

(可以把整堆取走)，但不能同时在两堆或更多堆石子中取。第一个人可以任选一堆取，但后面每次取石子的时候必须遵循以

下规则：如果对手刚才没有把一堆石子全部取走，则他只能继续在这堆石子里取，只有当对手把一堆石子全部取走时，他才

能换一堆石子取。谁取到最后一个石子，谁就赢。假定游戏双方都绝顶聪明，谁会赢呢？

分析：分堆数及每堆内1有多少个来讨论，然后每次推下一堆就根据上一堆的情况来，多写两组也很容易发现了规律：如果n是偶数且每堆都是1则后手胜，否则先手。