图像处理－线性滤波－2 图像微分（1、2阶导数和拉普拉斯算子）

来源：互联网发布：网上报销软件编辑：程序博客网时间：2024/05/08 21:36

更复杂些的滤波算子一般是先利用高斯滤波来平滑，然后计算其1阶和2阶微分。由于它们滤除高频和低频，因此称为带通滤波器（band-pass filters）。

在介绍具体的带通滤波器前，先介绍必备的图像微分知识。

1 一阶导数

连续函数，其微分可表达为，或（1.1）

对于离散情况（图像），其导数必须用差分方差来近似，有

，前向差分 forward differencing （1.2）

，中心差分 central differencing （1.3）

1）前向差分的Matlab实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
function dimg = mipforwarddiff(img,direction)
% MIPFORWARDDIFF     Finite difference calculations
%
%   DIMG = MIPFORWARDDIFF(IMG,DIRECTION)
%
% Calculates the forward-difference for a given direction
% IMG       : input image
% DIRECTION : 'dx' or'dy'
% DIMG      : resultant image
%
%   See also MIPCENTRALDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV
%   MIPSECONDPARTIALDERIV

%   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06
%   Medical Image Processing Toolbox

imgPad = padarray(img,[1 1],'symmetric','both');%将原图像的边界扩展
[row,col] = size(imgPad);
dimg = zeros(row,col);
switch (direction)
case 'dx',
   dimg(:,1:col-1) = imgPad(:,2:col)-imgPad(:,1:col-1);%x方向差分计算，
case 'dy',
   dimg(1:row-1,:) = imgPad(2:row,:)-imgPad(1:row-1,:);
otherwise, disp('Direction is unknown');
end;
dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);

2）中心差分的Matlab实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
function dimg = mipcentraldiff(img,direction)
% MIPCENTRALDIFF     Finite difference calculations
%
%   DIMG = MIPCENTRALDIFF(IMG,DIRECTION)
%
% Calculates the central-difference for a given direction
% IMG       : input image
% DIRECTION : 'dx' or'dy'
% DIMG      : resultant image
%
%   See also MIPFORWARDDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV
%   MIPSECONDPARTIALDERIV

%   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06
%   Medical Image Processing Toolbox

img = padarray(img,[1 1],'symmetric','both');
[row,col] = size(img);
dimg = zeros(row,col);
switch (direction)
    case 'dx',
        dimg(:,2:col-1) = (img(:,3:col)-img(:,1:col-2))/2;
    case 'dy',
        dimg(2:row-1,:) = (img(3:row,:)-img(1:row-2,:))/2;
    otherwise,
        disp('Direction is unknown');
end
dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);
1

实例：技术图像x方向导数

1
2
I = imread('coins.png'); figure; imshow(I);
Id = mipforwarddiff(I,'dx'); figure, imshow(Id);

原图像 x方向1阶导数

2 图像梯度（Image Gradient）

图像I的梯度定义为，其幅值为。出于计算性能考虑，幅值也可用来近似。

Matlab函数

1）gradient：梯度计算
2）quiver：以箭头形状绘制梯度。注意放大下面最右侧图可看到箭头，由于这里计算横竖两个方向的梯度，因此箭头方向都是水平或垂直的。

实例：仍采用上面的原始图像

1
2
3
4
5
I = double(imread('coins.png'));
[dx,dy]=gradient(I);
magnitudeI=sqrt(dx.^2+dy.^2);
figure;imagesc(magnitudeI);colormap(gray);%梯度幅值
holdon;quiver(dx,dy);%叠加梯度方向

梯度幅值梯度幅值+梯度方向

3 二阶导数

对于一维函数，其二阶导数，即。它的差分函数为

（3.1）

3.1 普拉斯算子（laplacian operator）

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积

（3.2）

其在二维空间上的公式为：（3.3)

对于1维离散情况，其二阶导数变为二阶差分

1）首先，其一阶差分为

2）因此，二阶差分为

3）因此，1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核 实现

对于2维离散情况（图像），拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和（见式3.3），其公式为：

（3.4）

上式对应的卷积核为

常用的拉普拉斯核有：

3.1.2 应用

拉普拉斯算子会突出像素值快速变化的区域，因此常用于边缘检测。

Matlab里有两个函数

1）del2

计算公式：，

2）fspecial：图像处理中一般利用Matlab函数fspecial

h = fspecial('laplacian', alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.
The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.