HDOJ--3037--Saving Beans【数论】

题意：把不多于m个豆子存在n棵树上。豆子取到m，把多余的豆子存在第n+1棵树上，就转换成了把m个豆子存在n+1棵树上的排列组合问题，答案为C(n+m,m)

Lucas定理：

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])  mod p同余
即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) 

然后粘一段在别人解题报告里看到的证明：

以求解n! % p为例，把n分段，每p个一段，每一段求的结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p, 2p, ...，把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n / p)!，相当于划归成了一个子问题，这样递归求解即可。
这个是单独处理n!的情况，当然C(n,m)就是n!/(m!*(n-m)!)，每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了

乘法逆元：满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。

如果N和P互质，由费马小定理知(N^(P-1))%P=1，所以N与N^(P-2)互为乘法逆元。

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <string>#include <vector>#include <set>#include <queue>#include <stack>#define PI acos(-1)using namespace std;#define N 100005long long int f[N];long long int mode(long long int a,long long int n,long long int p){long long int t = a;long long int ans = 1;while(n){if(n & 1)ans = (ans * t) % p;n >>= 1;        t =  (t * t) % p;}return ans;}long long int C(long long int n,long long int m,long long int p){    if(n<m) return 0;    return f[n]*mode((f[n-m]*f[m])%p,p-2,p)%p;}long long int Lucas(long long int n,long long int m,long long int p){    if(m==0)    return 1;    return (C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p))%p;}int main(){    int t;    long long int n,m,p;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);        f[0]=1;        for(int i=1;i<=p;i++)            f[i]=f[i-1]*i%p;        printf("%I64d\n",Lucas(n+m,m,p));    }    return 0;}