滑模控制以及系统动力学与控制论(2)

一个动力学系统,一般的,可以用一个或者几个,大多数情况下是几个微分方程来表示.这些微分方程可以是线性的也可以是非线性的.对应的是线性系统和非线性系统. 系统稳定性一般由系统的输入输出来决定的.一般认为,一个系统,在任意时间内,如果输入信号是在一定限制范围内,输出信号也在一定限制范围内的话,这个系统就被认为是稳定的.反之则是不稳定的.

对于线性系统,判断其稳定性有简单的办法可循.对系统的状态方程取拉普拉斯变换之后,如果系统的奇点全部位于时间平面的左半轴,或者是说只有在时间是负值的时候才会出现系统奇点,这样的系统,就被认为是稳定的.但是对于非线性系统.对其奇点位置的判断难度相当之大.因此非线性系统控制比线性系统控制难度要大的多.

说了这么多就是为了说引出一个东西,就是滑模控制.

滑模控制是属于变结构控制的一种.适用于线性系统和非线性系统.出现的时间大约是在上个世纪的50年代.后来有人结合自适应控制的办法发展出了自适应滑模控制.滑模控制的基本想法很简单,就是定义一个切换面S(也叫滑动参数)保这个切换面上系统是稳定的,至少是近似稳定的.然后用控制信号把系统调整到这个切换面上.比方说吧.如果系统状态高于切换面了.控制信号就会把它压下去.低于切换面了,控制信号就会把它托起来.显然,在时间轴上看,就像是系统状态在切换面上产生了滑动.所以叫做滑模控制.这个理论的还一个目的就是.一旦系统进入了切换面(时间轴上看,就是S收敛到了0),系统就开始调整输出信号,使其与参考信号相吻合(系统误差 e 开始收敛),并且这个收敛只和切换面有关.和外界干扰以及其他的因素没有任何关系.经典的滑模理论中.S和 e 的收敛都是渐近的.也就是说理想状态下,当时间趋向0则S和 e 彻底收敛于0.上个世纪末.大约是1997年.我的老板.满老师(Associate Professor Man Zhihong)和他的同学Xing Huoyu一起发了一篇论文,提出了Terminal Sliding Mode的概念.也就是用一种控制的办法,让S和 e 在有限时间内收敛到0.

前面说了,对于非线性系统要判断其稳定性不能用拉普拉斯变换之后判断奇点位置的办法.所以这里要提到一个人,俄罗斯的一个科学家,叫李亚普诺夫(Lyapunov), 他在19世纪末20世纪初的时候提出了所谓李亚普诺夫稳定性理论,用以判断系统的稳定性.适用于非线性系统.李亚普诺夫稳定性理论的思想很简单.它分为两个部分.第一个我们叫第一方法(First Method):如果对一个系统状态方程,在某一点上,可以找到一个线性系统和其近似相等.如果这个线性系统在这一点上是稳定的.那么就可以说这个非线性系统在这一点上局部稳定.第二个就是第二方法(Second Method)或者叫直接法(Direct Method),基本想法很简单.比如说吧.一个不知道内部结构是怎么的锅.你往里面丢一个球,如果你希望这个球是稳定的,或者它在哪儿你是知道的.那有什么办法?最简单的办法就是让它停下来别动.也就是让它的能量收敛到0.那么直接法就是说,如果一个系统,考查它的系统能量,如果在时间趋向无穷大时候他的系统能量收敛于0,那么就可以认为这个系统是稳定的.

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