矩阵分析（一）线性空间和线性变换

本系列文章为笔者学习过程的思路总结，转载请注明出处。

按照笔者的理解，矩阵分析课程是线性代数课程的延伸和发展，将实数域的分析进一步扩展到到复数域。

线性空间

矩阵的概念，是基于线性空间发展而来的。所以首先需要了解线性空间的定义，线性空间中定义两种基本运算，这里我们称为线性运算，分别为加法运算和数乘运算，而线性空间定义中又对这两种运算各自定义了四条性质，总共就是八条性质。

总结一下，对于定义于特定数域上的非空集合，如果在上面可以定义这两种线性运算，并且满足这八条性质，那么，就可以将其称为线性空间。而矩阵分析的所有工作，都是在这类空间里进行的，尤其是向量空间。

基与坐标

有了线性空间的概念，接下来面临的问题就是如何表述一个线性空间。

为了解决这个问题，基的概念就被提了出来。如果一个线性空间中的任何一个向量都可以用一组线性无关的向量线性表出，那么，这样一组线性无关的向量，就被称为基。至于什么是线性无关，这里就不介绍了。

有了基，那么用一组特定的基，就可以表示一个线性空间了，而空间的中的任何一个向量，都可以找到这组基下的唯一的坐标表示。

但是，有一个问题，一个线性空间是可以用多组不同的基表示的，这样，对于同个向量，在不同基下就可以表示不同的坐标，这些坐标之间具有什么样的联系，可不可以相互转换？

答案是可以，通过引入过渡矩阵的概念，我们可以就得到向量对应于不同基下的坐标变换。

线性子空间

有时候，我们只对线性空间的子空间感兴趣。

如果线性空间的一个子空间对加法运算和数乘运算具有封闭性，那么我们称其为线性子空间。有两个重要的线性子空间需要引起重视，分别是子空间的交空间和和空间。进一步，如果两个子空间的交空间为零向量，那么，他们的和又被称为直和。如果一个线性空间可以表示为两个子空间的直和，这个时候也称这两个线性子空间是互补的子空间（对应于他们的和空间）。

线性映射

有了线性空间的定义和表述方法，接下来可以研究两个线性空间的映射关系。

当一个映射满足加法和数乘两个基本的线性运算规则时，我们称这种映射为线性映射。

这里，要注意的是，从一个线性空间到另外一个线性空间的线性映射是不唯一的。如果给定两个线性空间的两组特定的基，并且给定一个维数满足要求的矩阵，那么，存在唯一的线性映射与之对应。

这句话可以从两方面理解，第一，如果基确定，一个矩阵对应唯一一个线性映射。第二，不同基下，同一线性映射的矩阵表示不唯一。

由前述知识，一个线性空间的两组不同的基可以通过过渡矩阵互为表示。假设两个线性空间内分别有两组基，他们之间的过渡矩阵已知，且知道一个线性映射对应于其中一对基的矩阵表示，这个时候，可以求得同样的线性映射对应于另外一对基的矩阵表示。由于两个矩阵表示的是同一个线性映射，所以我们也称这两个矩阵是等价的。

如果我们遍历一个线性空间的所有元素，右他们的所有线性映射组成的线性子空间，称为线性映射的值域，值域的维数也称为线性映射的秩。类似的，可以进一步引申出零空间和零度的概念。

线性变换

理解了线性映射的基本知识，接下来，着重研究一种特殊的线性映射——线性变换，所谓线性变换，就是从一个线性空间到他自己本身的一个线性映射，这时候线性映射的矩阵表示为一个方阵。

因为线性变换可以用方阵表示，所以，方阵的运算规则和性质定义也被引入其中，如加法，数乘，乘积，可逆等。

线性变换条件下的等价矩阵被加强为相似矩阵。

线性空间的同构

根据前面线性变换是一种特殊的线性映射，表现为映射到原空间，从运动学角度讲，它表示的是一种运动关系。

而同构映射则是另外一种特殊的线性映射，首先它是一种映射关系，更进一步，它还表示一一对应的关系。

从保持关系的角度讲，线性映射保持了线性向量组的相关性，加强后得到的同构映射则还保持了其无关性。与线性变换相同，同构映射前后的两个线性空间维数是相等的。

同构映射的好处在于，当直接研究一个线性空间涉及的操作比较繁琐时，可以尝试找到能令操作变得简单的同构映射空间，来减少工作量。

特征值与特征向量

特征值与特征向量，大家应该不陌生，在线性代数中已经研究过，当时是针对方阵提出的。而线性变换恰好可以用方阵表示，那么，把这些概念通过这样一种对应关系套到线性变换上，就变得理所当然了。通过研究这些特征值，或许可以得到对我们有用的知识。

前面提到，相似矩阵对应着相同的线性变换，体现在特征值上就是它们具有相同的特征值。

最后关于特征值研究，还有特征子空间，代数重复度，几何重复度以及它们之间的关系问题，这里就不展开来讲了。

线性变换的不变子空间

如果一个线性空间的子空间对线性运算具有封闭性，我们称之为线性空间的子空间，那么，是否存在子空间对线性变换具有封闭性呢？

答案是肯定的，我们将满足这一条件的子空间称为线性变换的不变子空间，比如，核空间和值域空间，线性变换的特征子空间等就都属于这一类空间。

线性变换的矩阵表示与它的不变子空间之间有着各种微妙的关系，有兴趣的读者可以自行查阅了解。

相似对角形

前面介绍了线性变换理论的相关知识，其研究的一个主要问题在于，可否通过寻找特定的基，使一个线性空间上的线性变换在这个基下的矩阵表示为对角矩阵。

根据线性变换与矩阵表示的对应关系，不难得到，线性变换可对角化的充要条件是矩阵表示可对角化。

那么（n维）矩阵可对角化的条件有哪些呢？

1. 矩阵具有n个线性无关的特征向量；
2. 矩阵的每个特征值的几何重复度与代数重复度相等。

对角化的拓展是同时对角化问题，可同时对角化问题还牵扯到矩阵的可交换问题。

什么是矩阵可交换问题呢？

在定义矩阵乘法的一般情况中，交换律是不成立的，但是对于某些特殊矩阵却可以成立，满足乘法交换律的两个矩阵我们称其为可交换矩阵。可交换矩阵的性质与其特征值，特征向量之间的关系息息相关。

总结

本节涉及的基础知识点比较多，最后笔者总结一下，以梳理各个知识点之间的相互关系。

矩阵理论研究问题是基于线性代数发展而来的，所以其研究内容是定义在线性空间基础之上的。这时需要了解线性空间的基本概念，有了概念，进一步希望可以对其进行数学表述，于是定义了基，又由于基的选取可以多种多样，这时才提出了坐标变换，引入过渡矩阵的概念。线性空间的细化就得到了线性子空间的问题。

有了线性空间，我们希望研究线性空间的关系问题，所以就提出了线性映射的概念，进一步，我们探讨了两种特殊的线性映射，分别是线性变换和同构映射。后面将重点放在了线性变换理论中。线性变换研究范围的细化得到不变子空间的定义，其研究的主要内容之一是可对角化问题，由于可对角化问题与其特征值，特征向量有着很重要的关系，所以在中间我们还扦插介绍了特征值，特征向量的相关概念。对角化的发展得到同时对角化问题，这是又涉及到矩阵可交换问题。

本节主要是在线性映射，特是别线性变换与其矩阵表示之间建立了桥梁关系，后面将介绍的矩阵分析问题都可以应用到线性映射，特别是线性变换之中，进而再拓展到实际应用去。