最长公共子序列-动态规划

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=17

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

 

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

    利用求最长公共子序列求单调递增最长子序列代码：

 #include<cstdio>#include<cmath>#include<iostream>#include<string.h>#include<string>using namespace std;char str[27];int istr;int l[10005][27];//长度lengthvoid lcs_l(char a[10005],char b[27]){  //求出数组lint i,j,la,lb;la=strlen(a);lb=strlen(b);for(j=0;j<=lb;j++)          //数组l的边界l[0][j]=0;for(i=1;i<=la;i++)l[i][0]=0;for(i=1;i<=la;i++)for(j=1;j<=lb;j++){if(a[i-1]==b[j-1])l[i][j]=l[i-1][j-1]+1;elsel[i-1][j]>l[i][j-1]?l[i][j]=l[i-1][j]:l[i][j]=l[i][j-1];}}void lcs_str(char a[10005],char b[27],int i,int j){if(i==0||j==0)return;if(a[i-1]==b[j-1]){lcs_str(a,b,i-1,j-1);str[istr++]=a[i-1];}else if(l[i-1][j]>l[i][j-1]){lcs_str(a,b,i-1,j);}elselcs_str(a,b,i,j-1);}int main(void){         //利用最长公共子序列求最长单调递增子序列int ncase;char alphabet[27]="abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";cin>>ncase;getchar();while(ncase--){char a[10005];int la ,lb,i;for(i=0;i<27;i++)str[i]='\0';gets(a);la=strlen(a);lb=26;istr=0;lcs_l(a,alphabet);lcs_str(a,alphabet,la,lb);cout<<strlen(str)<<endl;}//system("pause");return 0;}        

参考：http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630