以动态规划的思路理解Floyd算法
来源:互联网 发布:php环境文件管理器 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 14:36
以动态规划的思路理解Floyd算法
本文纯粹是自己的一些想法,如果有不对的请各位大牛指教
通常,想到计算最短路径时,由于是求最优路径,多会想到DP算法,但是若是以每一个点作为一个划分,即第一步是仅有V0,每一步多加一个点,寻找每一个状态的最优解,并不一定能得到最优点,因为最优路径的并不一定是顺序的,所以可能出现Vi时的最优路线,当Vi+1进入时使得Vi的结果并不是最优的。无法保证DP的必要条件即最优子结构。
而Floyd算法则另辟蹊径,它将所有点都加入运算,以V0—Vn中每一个点作为路径的中转点作为一次状态,所以有几个点就有几个状态。此时每个点都会参与到该状态的最短路径的计算当中。换言之,第k状态就是以Vi点作为中转点时的所有路径的最优权值。同时,要得到Dk矩阵,还需经过公式:
Dk[i][j] = Min{Dk-1[i][j] , Dk-1[i][k] + Dk-1[k][j]}
选取上一阶段的最优点,所以第k状态会综合前k-1态的最优结果,换言之,就是第k状态是选取V0---Vi的所有点分别作为中转点得到的最优解。必为当Vi作为中转点时的最优解,满足最优子结构的必要条件。并且每一个状态都是寻找前k态的最优结果,后面的结果并不会影响它的结果,即拥有无后向性。
整个算法过程就是寻找每一步的局部最优解,最后将所有结果叠加起来,如,当k = n时,就是遍历了所有n个点分别作为中转节点时的最优结果,也就是全局n点的最优结果。
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