poj3358 Period of an Infinite Binary Expansion 数论有难度

这道题目感觉好难，根本就是无从下手的感觉，尝试了以前的所有方法，都没有思路，毫无进展，参考了一下别人的思路，感觉学到了新的知识

接下来开始分析

观察1/10这组数据，按照二进制转化法可以得到： 1/10 2/10 4/108/10 16/1032/10.……

对于每一个分子进行模10处理 可以相应的得到：    1/102/10 4/108/10 6/102/10……

出现了重复，这个重复就是要求的最小循环

对于p/q,首先p'=p/gcd(p,q),q'=q-gcd(p,q),然后求p'*2^i ≡ p'*2^j  (mod q'),然后开始变换，p'*2^i*(2^(j-i)-1) ≡ 0 (mod q'),也就是说 q'|p'*2^i*(2^(j-i)-1),因为 gcd(p',q')=1所以q'|2^i*(2^(j-i)-1)

因为2^(j-i)-1肯定为奇数，所以q'有多少个2的幂，i就是多少，而且i就是循环开始前的第一位数字，令q''为q'除去2的幂之后的数，此时q''|2(j-i)-1，实际上就是 求 某个x  使得  2^x ≡ 1(mod q'')；因为q''与2是互诉的，所以肯定有解，令 n=q'',   2^φ(n) ≡ 1 (mod n ),由于题目要求的是 最小的x，看似 φ(n) 是最终解，所以不妨 像poj3696那样大胆假设 x其实是 φ(n)的一个因子，推导符合题目要求，再反过来假设x不是φ(n)的因子，  令r=φ(n)，mod x,r大于0，同时r<x,注意 2^φ(n)  ≡  1(mod n),且  2^x≡  1(mod n)，所以2^r %n=1,那么就存在一个比x更小的正整数 是的 2^r ≡ 1(mod n),所以  第二个假设失败，所以 x为 φ(n)的因子， 不断的寻找φ(n)的因子 然后判断是否符合题目要求即可

#include<iostream>#include<cstdio>#include<list>#include<algorithm>#include<cstring>#include<string>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<vector>#include<cmath>#include<memory.h>#include<set>#define ll long long#define eps 1e-8#define inf 0xfffffffconst ll INF = 1ll<<61;using namespace std;//vector<pair<int,int> > G;//typedef pair<int,int > P;//vector<pair<int,int> > ::iterator iter;////map<ll,int >mp;//map<ll,int >::iterator p;//int a,b,r[112];int Gcd(int a,int b){return b==0?a:Gcd(b,a%b);}void detal(int x,int m){r[0]=x%m;for(int i=1;i<32;i++)r[i]=(ll)r[i-1]*r[i-1]%m;}int quick(int x,int y,int m){int i=0,ans,j;int d[50];while(y){d[i++]=y%2;y>>=1;}for(j=0,ans=1;j<i;++j)if(d[j])ans=(ll)ans*r[j]%m;return ans;}int main(){int Case=0;char s[102];while(~scanf("%s",s)){a=0,b=0;bool flag=false;for(int i=0;i<strlen(s);i++){if(s[i] != '/' && !flag)a=a*10+s[i]-'0';elseflag=true;if(flag && s[i] != '/')b=b*10+s[i]-'0';}if(a == 0){printf("Case #%d: %d,%d\n",++Case,1,1);continue;}int gcd=Gcd(a,b);b/=gcd;int x=0;while(!(b&1)){b>>=1;x++;}x++;int c[112][2],k=0,a=b,ans=b;for(int i=2;i*i<=a;i++){if(a%i == 0){ans-=ans/i;a/=i;while(a%i == 0)a/=i;}}if(a > 1)ans-=ans/a;;a=ans;for(int i=2;i*i<=a;i++){if(a%i == 0){c[k][0]=i;c[k][1]=0;c[k][1]++;while(a%i == 0){c[k][1]++;a/=i;}k++;}}if(a > 1){c[k][0]=a;c[k][1]=1;k++;}detal(2,b);for(int i=0;i<k;i++){for(int j=0;j<c[i][1];j++){if(quick(2,ans/c[i][0],b) != 1)break;ans/=c[i][0];}}printf("Case #%d: %d,%d\n",++Case,x,ans);}return EXIT_SUCCESS;}