鸽巢原理

鸽巢原理：如果鸽子数比鸽巢数多，那么一定有一个鸽巢里至少有两只鸽子

定理1：k+1或更多个物体放入k个盒子，一定至少有一个盒子有2个或更多的物体

应用1：对每个整数n，存在一个数是n的倍数，且它的十进制表示只包含0和1

证：n+1个数，1,11,111，...，111……111（n+1个1）。这些数被n整除，得到n+1个余数，由于，一个数除以n只能得到0~n-1的n个数，所以这n+1个余数必有两个相等，所以这两个数之差就是所要求的数。

应用2:  一月30天里，某球队一天至少打一场比赛，一月中最多打45场，证一定存在连续若干天，这个队恰好打了14场

证：1<= ai <= 45，ai为之前（包括当天）所有比赛数，15 <= ai + 14 <= 59，  所以  a1，a2，……，a30，a1 + 14， a2 + 14， ……，a30 + 14共 60个数都小于等于59，有两个数必然相等（ai = aj + 14），得证 

定理2：N个物体放入k个盒子，则至少有一个盒子包含至少【N/k】（取上整）个物体。

证：如果都小于【N/k】，则总物体数最多k（【N/k】-1）<k( (N/k + 1 )- 1) = N，（【N/k】< N/k + 1）矛盾

应用：标准的52张牌必须选出多少张才能保证选出的牌中至少有3张是同样花色？

解：  [N/4] >= 3   且  [N/4] < N / 4 + 1         故  N / 4 + 1 > 3  ,  N = 9.

[N/k] >= r    ————》 N = k(r - 1) + 1

定理3：n^2 + 1 个不同实数，必包含一个长度为n + 1的递增序列，或递减序列

证：（ik, dk）表示ak开始的最长的递增序列长度为ik，最长递减长度为dk。设题设不成立，则，ik<=n, dk <= n

所以（ik，dk）最多有n^2个有序对，n^2 + 1个数对应的有序对中必有两个是相等的，即（is，dk）与（it，dt）相等，这是不可能的，因为as < at，则可以形成n+1的递增序列；as>at，则可以形成n+1的递减序列。得证

应用：6个人中，两两彼此朋友或敌人，则至少3个人彼此朋友，或3个人彼此敌人

证：对于A，剩下5个人或朋友或敌人，根据定理2，至少3个人是A的朋友，或至少3个人是A的敌人

第一种情况，设BCD是其朋友，如果BCD任两个互相朋友，则与A构成3人朋友组，否则BCD构成3人敌人组

第二种情况类似，得证

拉姆齐数：R（m，n）（m,n >= 2），任两人或朋友或敌人，则满足至少m个人彼此朋友，或n个人彼此敌人的最小总人数是多少。

R（3,3 ）= 6，R（2，n）=n，R（4,4）=18，43<=R（5,5）<=49，很多情况无法精确