二进制数、位和字节

书写数字的常用方法是十进制。例如：2157的千位是2，百位是1，十位是5，个位是7，这意味着可以将2157看作如下形式：

2×1000+ 1×100 + 5×10 + 7×1

也就是如下形式：

2×10³+1×10²+ 5×10¹+7×10⁰

姑且认为，十进制得以发展的原因是我们都有10根手指。在某种意义上说，计算机的位只有2根手指，原因是它只能被设为0或1。因此，以2为基数的系统适用于计算机。它用2的幂代替10的幂。以2为基数表示的数字称为二进制数。数字2对于二进制数的作用和数字10对于十进制数的作用是相同的。例如，二进制数1101可表示为一下形式：

1×2³+ 1×2² + 0×2¹+ 1×2⁰

以十进制数形式表示为：

1×8+ 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13

可以使用二进制系统将任何整数表示为1和0的组合。这种系统非常适于数字计算机使用，数字计算机使用打开和关闭状态的组合来表示信息，而这些状态可以使用1和0表示。

二进制整数

一个字节通常包括8个位。我们可以将这8位从左到右看作是从7到0。在字节中，位7称为高位，为0称为低位。每位数字是对应2的一个特定的指数。可将字节设想成如下图的形式

这里128是2的7次幂，依此类推。该字节可以保存的最大数是把所有的位都设置为1：11111111。该二进制数的值如下：

128 + 64 +32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

最小的二进制数是 00000000，或一个简单的0。一个字节可以存储的范围是0到255，总共256个可能的值。通过改变对位模式的解释方式，一个字节可以存储从-128到+127之间的整数，总共还是256个值。

有符号整数

有符号数的表示方法是由硬件决定，而不是C决定的。或许表示有符号数最简单的方法就是保留1位符号位。在一个1字节值中，该方法为数字本身留下7位。使用这样的符号量表示法，10000001表示-1，00000001表示1。那么整个范围是-127到+127。这就是原码，原码是人脑最容易理解和记忆的方式。

这种方法的一个缺点是有两个零：+0和-0。二进制补码避免了这种问题，这是当今使用最普遍的系统。不过在介绍补码之前，需要先介绍二进制反码。

反码的表示方法是：正数的反码是其原码本身，负数的反码是在其原码基础上，符号位不变，其余各位取反。因此，00000001（+1）的反码为：00000001，10000001（-1）的反码为：11111110。在此基础之上，正数的补码仍然为其原码本身，负数的补码再在其反码基础上加1。因此，10000001（-1）的补码即为：11111111。

补码如何解决两个零的问题呢？以十进制数1 - 1 = 0为例，如果用原码表示，让符号位也参与计算，如下：

1 – 1 = 1 +(-1) = 00000001 + 10000001 = 10000010 = -2

这个结果显然是不正确的。为了解决这个问题，我们引入了反码：

1 – 1 = 1 +(-1) = 00000001 + 10000001 = 00000001 + 11111110 = 11111111 = 10000000 = -0

发现结果的真值部分是正确的，而符合位存在问题，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有意义的。因此，补码的出现就是解决这个问题：

1 – 1 = 1 +(-1) = 00000001 + 10000001 = 00000001 + 11111111 = 100000000

结果为9位，去掉最高位，结果为00000000 = 0。这样0用00000000表示，可以用10000000表示-128。

补码再深入

由于任何单字节数的补码和它相反数的补码相加，结果都为100000000。因此，从这个9位组合100000000（256的二进制形式）中减去一个负数的位组合，结果一定是该负数值的数量。例如一个负数的位组合为10000000。作为一个无符号数，该组合为128。作为一个有符号数，该组合为负，并且值为100000000 - 10000000，即10000000（128）。因此，该数为-128。与之类似，10000001是-127，11111111是-1。

要对一个二进制补码数取相反数，最简单的方法是反转每一位，然后加1。因为1是00000001，所以-1是11111110 + 1，即11111111，和前面所看到的是一致的。

二进制浮点数

浮点数分两部分存储：一个二进制小数和一个二进制指数。普通的小数0.527代表：

5 ÷10+ 2 ÷100 + 7÷1000

其中的分母是10的依次递增的幂。在二进制小数中，使用2的幂作为分母，因此二进制小数 .101 代表：

1÷2+ 0÷4 + 1÷8 = 0.50 + 0.00 +0.125 = 0.625

像1/3这样的许多小数不能用十进制计算法精确地表示。同样，许多小数也不能用二进制计数法精确地表示。实际上，二进制计数法只能精确地表示多个1/2的幂的和。因此3/4和7/8可以精确表示为二进制小数，但是1/3和2/5却不能。

要在计算机中表示一个浮点数，需要留出若干位（其位数取决于系统）存放一个二进制小数，其他位存放一个指数。总之，数字的实际值是二进制小数部分乘以2的指定次幂。比如用4乘以一个浮点数，则指数增加了2，二进制小数不改变。用一个不是2的幂的数乘以一个浮点数，则会改变二进制小数，如果有必要也会改变指数部分。

本文参考了C Primer Plus, Fifth Editon Chapter 15. Bit Fiddling