fzuoj 2143 Board Game

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思路：

最小费用最大流，代价拆开变成A[i][j] ^2 - A[i][j] * B[i][j] * 2 + B[i][j] ^ 2，假设给定的数组是B，那么B[i][j] ^ 2 可以直接忽略。现在的目标是最小化A[I][j] ^ 2 - 2 * A[i][j] * B[i][j]。

可以看出这个一个棋盘模型，棋盘黑白染色后，设每个 i % 2 == j % 2 的格子为白色格子，其他为黑色。 对于每个白点，将其与源点连K条边，第 i 条边表示从i - 1 增加到 i 所需要的代价，为2 * i - 1 - 2 * B[i][j] ( i ^ 2 - (i - 1) ^ 2)，流量为1。 可以看到代价是随着 i 的增大而递增，所以可以最小费用流解决，同理，黑点向汇点连K条边。 还有白点向相邻的黑点连代价为0，流量为无穷大的边。 跑最小费用流，直到找到一条 >= 0的增广路时退出，因为 >= 0的已经没有任何意义。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <queue>using namespace std;const int E = 50010;const int oo = 0x7fffffff;const int N = 1010;struct edge{int next,v,flow,cost;}e[E];int head[N],cnt;queue<int> q;void addedge(int u,int v,int flow,int cost){e[cnt].v = v;e[cnt].flow = flow;e[cnt].cost = cost;e[cnt].next = head[u];head[u] = cnt ++;}void addEdge(int u,int v,int flow,int cost){addedge(u,v,flow,cost);addedge(v,u,0, -cost);}int S,T,ans;int dir[4][2] = {0,1,0,-1,1,0,-1,0};bool sure(int x,int y,int n,int m){    return x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= m;}void init(){int n,m,K,x;memset(head,-1,sizeof(head));cnt = 0;scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);    S = 0,T = n * m + 10;    ans = 0;    int c1 = 0,c2 = (n * m + 1) / 2 + 5;    int map[15][15];    for(int i = 1; i <= n; i ++)        for(int j = 1; j <= m; j ++) {            scanf("%d",&x);            ans += x * x;            if(i % 2 == j % 2) map[i][j] = ++ c1;            else map[i][j] = ++ c2;            for(int k = 1; k <= K; k ++) {                if(i % 2 == j % 2) {                    addEdge(S,c1,1,2 * k - 1 - 2 * x);                }                else {                    addEdge(c2,T,1,2 * k - 1 - 2 * x);                }            }        }    for(int i = 1; i <= n; i ++)        for(int j = 1; j <= m; j ++)            if(i % 2 == j % 2) {                for(int k = 0; k < 4; k ++) {                    int tx = i + dir[k][0];                    int ty = j + dir[k][1];                    if(!sure(tx,ty,n,m)) continue;                    addEdge(map[i][j],map[tx][ty],oo,0);                }            }        }int dis[N],cc[N],visit[N],pre[N],dd[N];int spfa(){fill(dis,dis + T + 1, oo);dis[S] = 0;pre[S] = -1;q.push(S);while(!q.empty()) {int u = q.front();q.pop();visit[u] = 0;for(int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {if(e[i].flow > 0 && dis[e[i].v] > dis[u] + e[i].cost) {dis[e[i].v] = dis[u] + e[i].cost;pre[e[i].v] = u;cc[e[i].v] = i;dd[e[i].v] = e[i].cost;if(!visit[e[i].v]) {q.push(e[i].v);visit[e[i].v] = 1;}}}}return dis[T] < 0;}int argument(){int aug = oo;int u,v;int ans = 0;for(u = pre[v = T]; v != S; v = u, u = pre[v])if(e[cc[v]].flow < aug) aug = e[cc[v]].flow;for(u = pre[v = T]; v != S; v = u, u = pre[v]) {e[cc[v]].flow -= aug;e[cc[v] ^ 1].flow += aug;ans += dd[v] * aug;}return ans;}void mcmf() {memset(visit,0,sizeof(visit));while(spfa()) ans += argument();printf("%d\n",ans);}int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    for(int cas = 1; cas <= t; cas ++) {    init();        printf("Case %d: ",cas);    mcmf();    }return 0;}