平衡二叉树的生成理论

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作者：关新全

1、AVL的插入算法描述

在平衡的二叉排序树T上插入一个关键码为kx的新元素，递归算法可描述如下：

(一)     若T为空树，则插入一个数据元素为kx的新结点作为T的根结点，树的深度增1；

(二)     若kx和T的根结点关键码相等，则不进行插入；

(三)     若kx小于T的根结点关键码，而且在T的左子树中不存在与kx有相同关键码的结点,则将新元素插入在T的左子树上，并且当插入之后的左子树深度增加1时，分别就下列情况进行处理：

⑴ T的根结点平衡因子为-1(右子树的深度大于左子树的深度)，则将根结点的平衡因子更改为0，T的深度不变；

⑵ T的根结点平衡因子为0(左、右子树的深度相等)，则将根结点的平衡因子更改为1，T的深度增加1；

⑶ T的根结点平衡因子为1(左子树的深度大于右子树的深度),则若T的左子树根结点的平衡因子为1,需进行单向右旋平衡处理并且在右旋处理之后，将根结点和其右子树根结点的平衡因子更改为0，树的深度不变；若T的左子树根结点平衡因子为-1，需进行先左后右双向旋转平衡处理，并且在旋转处理之后，修改根结点和其左、右子树根结点的平衡因子，树的深度不变。

（四） 若kx大于T的根结点关键码，而且在T的右子树中不存在与kx有相同关键码的结点，则将新元素插入在T的右子树上并且当插入之后的右子树深度增加1时，分别就不同情况处理之。其处理操作和（三）中所述相对称。

AVL树的四种情况：

1.  简单右旋：当插入项位于最近的平衡因子为+2的祖先节点的左孩子的左子树中时采用。见图1-1.

 

图1-1 简单右旋

图1-1中，将新节点插入到A节点的左孩子B的左子树L(B)中。

简单右旋的操作步骤如下：

1.  A的父指针指向B

2.  A的左孩子指向B的右孩子

3.  B的右孩子指向A。

4.  更改A的平衡因子为0，更改B的平衡因子为0.

注意L（B）中的平衡因子在添加节点回溯时已经进行了修改，其他部分的平衡因子不变。（添加节点回溯将在稍后介绍）。

 

2.  简单左旋：当插入项位于最近的平衡因子为-2的祖先节点的右孩子的右子树中时。如图1-2.

 

图1-2 简单左旋

图1-2中，新节点插入到了A节点右孩子B的右子树R(B)中，使用简单左旋后，二叉树变的平衡。

简单左旋的步骤如下：

1.  A的父指针指向B

2.  A的右孩子指向B的左孩子

3.  B的左孩子指向A

4.  修改B的平衡因子为0，修改A的平衡因子为0

5.  R（B）中的平衡因子在添加新节点回溯过程中进行修改，其他部分的平衡因子不变。

 

3.  左右旋：当插入项位于最近的平衡因子为+2的祖先节点的左孩子的右子树中时，见图1-3.

 

图1-3 左右旋(LRL)

从图1-3可以看出，新节点插入到了A节点的左孩子B的右孩子C的左子树中。

基本操作步骤为：

1.  B的右儿子指向C的左儿子

2.  C的左儿子指向B

3.  A的父指针指向C

4.  A的左儿子指向C的右儿子

5.  C的右儿子指向A

6.  B的平衡因子置为0，C的平衡因子置为0，A的平衡因子置为-1.L（C）中的平衡因子在回溯的时候进行修改。

注意，图1-3所示的为，新节点插入到A节点的左孩子B的右孩子C的左子树中，称这种情况为（LRL），还有一种情况是，新节点插入到A节点的左孩子B的右孩子C的右子树中，这种情况称为（LRR），LRR的操作步骤与LRL相似，就是第6步不同。

LRR第6步为：

LRR中平衡因子B修改为+1，C修改为0，A修改为0，R（C）中的平衡因子在回溯过程中进行更改。

LRR参考图1-4.

 

图1-4 左右旋（LRR）

 

4.  右左旋：当插入项位于最近的平衡因子为-2的祖先节点的右孩子的左子树中时使用。见图1-5.

 

 

图1-5 右左旋（RLL）

图1-5中，新节点插入到了A的右孩子B的左孩子C的左子树中。

基本操作步骤：

1.  B的左孩子指向C的右孩子

2.  C的右孩子指向B

3.  A的父指针指向C

4.  A的右孩子指向C的左孩子

5.  C的左孩子指向A

6.  A的平衡因子改为0，B的平衡因子为-1，C的平衡因子为0，L（C）的平衡因子在回溯过程中进行修改。

与左右旋相似，右左旋的第二种情况称为（RLR），旋转后见图1-6.

 

图1-6 右左旋（RLR）

RLR与RLL的前五步相同，RLR的第六步为：

RLR需要将A的平衡因子修改为+1，将B的平衡因子修改为0，将C的平衡因子修改为0。R（C）中的平衡因子在回溯过程中修改。

注意：旋转后，路径上剩余的节点的平衡因子不需要改变。（这个自己可以很容易推导出来）

 

 

如何插入：

(1)、如何回溯修改祖先结点的平衡因子

我们知道，在AVL树上插入一个新结点后，有可能导致其他结点BF（平衡因子）值的改变，哪些结点的BF值会被改变？如何计算新的BF值呢？要解决这些问题，我们必须理解以下几个要点：只有根结点到插入结（橙色结点）点路径（称为插入路径）上的结点的BF值会被改变。如图2所示，只有插入路径上结点（灰色结点）的BF值被改变，其他非插入路径上结点的BF值不变。 

 

当一个结点插入到某个结点的左子树时，该结点的BF值加1（如图2的结点50、43）；当一个结点插入到某个结点的右子树时，该结点的BF值减1（如图2的结点25、30）。如何在程序中判断一个结点是插入到左子树还是右子树呢？很简单，根据二叉查找树的特性可以得出结论：如果插入结点小于某个结点，则必定是插入到这个结点的左子树中；如果如果插入结点大于某个结点，则必定插入到这个结点的右子树中。 
修改BF值的操作需从插入点开始向上回溯至根结点依次进行，当路径上某个结点BF值修改后变为0，则修改停止。如图3所示，插入结点30后，首先由于30<43，将结点43的BF值加1，使得结点43的BF值由0变为 1；接下来由于30>25，结点25的BF值由1改为0；此时结点25的BF值为0，停止回溯，不需要再修改插入路径上结点50的平衡因子。道理很简单：当结点的BF值由1或-1变为0，表明高度小的子树添加了新结点，树的高度没有增加，所以不必修改祖先结点的平衡因子；当结点的BF值由0变为1或-1时，表明原本等高左右子树由于一边变高而导致失衡，整棵子树的高度变高，所以必须向上修改祖先结点的BF值。

 

 

（2）、何时进行旋转操作？如何判断作什么类型的旋转？

在回溯修改祖先结点的平衡因子时，如果碰到某个结点的平衡因子变为2或-2，表明AVL树失衡，这时需要以该结点为旋转根，对最小不平衡子树进行旋转操作。由于是从插入点开始回溯，所以最先碰到的BF值变为2或-2的结点必定为最小不平衡子树的根结点。如图4所示，插入39后，43和50两个结点的BF值都会变为2，而必定先访问到结点43，所以43是最小不平衡子树的根。根据以上Flash动画演示所示，旋转操作完成后，最小不平衡子树插入结点前和旋转完成后的高度不变，所以可以得出结论：旋转操作完成后，无需再回溯修改祖先的BF值。这样，图4中的结点25和50的平衡因子实际上在插入结点操作完成后的BF值不变（对比图2）。 

 

 

 

实现考虑：

整个算法需要一个栈来配合，首先，在节点插入时，从根节点开始判断，直至找到节点需要插入的位置，并将经过的整个路径放入栈中进行存储。整个查找过程时间复杂度为log(n).然后按照栈的顺序进行回溯，修改栈内（即插入路径）节点的平衡因子的值，直到碰到修改后的值为0的节点（结束），或者碰到修改后值为正负2的节点（进行旋转），整个回溯过程最坏会在log(n)内完成，旋转操作是常数时间复杂度。因此，整个插入过程的时间复杂度为log(n)。（更准确的说在2*log(n)内完成）。

 

本文是作者总结他人成果之上编写而成，转载引用时请标明出处。

 最后感谢那些提供丰富示例的网络资源，尤其是参考资料中的那个连接，连接里楼主不光语言精练，还做了平衡二叉树的动画演示，希望大家多去看看。

参考：

http://webtrados.llh4.com/post/522.html

数据结构与算法分析 C++语言描述 第二版 jarry Nyhoff著。

http://blog.sina.com.cn/s/blog_616e189f0100qgcm.html