[算法导论]第七章《快速排序》

        本章介绍了快速排序及其算法分析，快速排序采用的是分治算法思想，对包含n个数的输入数组，最坏情况下运行时间为θ(n^2)，但是平均性能相当好，期望的运行时间为θ(nlgn)。另外快速排序能够就地排序（我理解是不需要引入额外的辅助空间，每次划分能确定一个元素的具体位置），在虚拟环境中能很好的工作。

1、快速排序的描述

　　快速排序算法采用的分治算法，因此对一个子数组A[p…r]进行快速排序的三个步骤为：
　　（1）分解：数组A[p...r]被划分为两个（可能为空）子数组A[p...q-1]和A[q+1...r]，给定一个枢轴，使得A[p...q-1]中的每个元素小于等于A[q]，A[q+1...r]中的每个元素大于等于A[q]，q下标是在划分过程中计算得出的。
　　（2）解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p...q-1]和A[q+1...r]进行排序。
　　（3）合并：因为两个子数组是就地排序，不需要合并操作，整个数组A[p…r]排序完成。

　　快速排序关键过程是对数组进行划分，划分过程需要选择一个主元素（pivot element）作为参照，围绕着这个主元素进划分子数组。举个列说明如何划分数组，现有子数组A={2，8，7，1，3，5，6，4}，以最后一个元素为主元素进行划分，划分过程如图所示：

书中给出了划分过程的伪代码：

PARTITION(A,p,r)   x = A[r]   //将最后一个元素作为主元素  i = p-1   for j=p to r-1     //从第一个元素开始到倒数第二个元素结束，比较确定主元的位置       do if A[j] <= x             i = i+1             exchange A[i]  with A[j]   exchange A[i+1] with A[r]   //最终确定主元的位置   return i+1   //返回主元的位置

根据划分过程的为代码，书中又给出了快速排序的为代码：

1 QUICKSORT(A,p,r)2     if p<r3        q = PARTITION(A,p,r)    //确定划分位置4        QUICKSORT(A,p,q-1)     //子数组A[p...q-1]5        QUICKSORT(Q,q+1,r)     //子数组A[q+1...r]

代码实现C++：

/* *Created by RogerKing *Email:[e-mail] */#include <iostream>using namespace std;//划分子数组  int PARTITION(int A[], int p,int r){int x=A[r];//A[r]作为主元，围绕它来划分子数组int i=p-1,j,tmp;for( j=p; j<=r-1 ; j++ ){if( A[j]<=x ){i++;tmp=A[j]; //小于A[r]的数往左移，交换A[i]和A[j]的值  A[j]=A[i];A[i]=tmp;}}tmp=A[j]; //交换A[r]和A[i+1]的值  A[j]=A[i+1];A[i+1]=tmp;return i+1;}//快速排序void QuickSort(int A[],int p,int r){if( p<r ){int q=PARTITION(A,p,r);QuickSort(A,p,q-1);QuickSort(A,q+1,r);}}void display(int A[],int n){for( int i=0; i<n ; i++)cout<<A[i]<<" ";cout<<endl;}int main(int argc, char *argv[]){int A[100];      int n;      while (cin >> n)      {for (int i = 0; i < n; i++)  cin >> A[i];          QuickSort(A,0,n);          display (A, n);      }  return 0;}

2、快速算法排序的性能

　　最快情况划分：当划分过程中产生的两个区域分别包含n-1个元素和1个元素的时候（即将待排序的数是逆序的），这样第个调用过程中每次划分都是不对称的。算法时间递归的表示为：T(n)=T(n-1)+T(o)+θ(n) = T(n-1)+θ(n) = θ(n^2)。

3.快速排序随机化版本：

/*伪代码：Randomize-Partition(A,p,r)  i =Random(p,r)  exchange A[r] with A[i]  return Patition(A,p,r)Randomize-QuickSort(A,p,r)  if p<r     q = Randomize-Partition(A,p,r)     Randomize-QuickSort(A,p,q-1)     Randomize-QuickSort(A,q+1,r)*/int randomized_partition(int A[], int p, int r){     int i = p + rand() % (r - p + 1);          int tmp=A[i]; A[i]=A[r]; A[r]=tmp;     return PARTITION(A, p, r);}void randomized_quick_sort(int A[], int p, int r){     if (p < r) {          int q = randomized_partition(A, p, r);          randomized_quick_sort(A, p, q - 1);          randomized_quick_sort(A, q + 1, r);     }}