0-1背包问题

有N件物品和一个容量为T的背包。第i件物品的大小是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

该问题是一个很老的问题，可以用动态规划或者回溯法解决。动态规划的主要思想为自下而上求解该问题，在整个求解过程中，所得到的中间结果被完全保留下来，因为最终最优解的获得是通过这些中间结果得到的，这些中间结果不一定是当前状态下的最优解，但也许会是全局状态下的最优解的组成部分。

0-1背包问题的动态规划解决方案如下：建立一个N+1行T+1列的数组D(数组从0算起)，D[i][j]表示的含义是：前i件物品(含)在空间大小为j的背包中的最大价值。因此D[0][j]=D[i][0]=0，当w[i]>j时，D[i][j]=D[i-1][j]。一般情况下D[i][j]=MAX(D[i-1][j],D[i-1][j-w[i]]+v[i])，该等式的含义是：当物品为1——i号，容量为j时，最大价值为不放第i件物品的价值(也就是D[i-1][j])和放入第i件物品后的价值(也就是D[i-1][j-w[i]]+v[i])这两个值当中较大的那一个。因此，可通过时间复杂度为O(n²)的计算后得到D[N][T]。如下面的例子所示：

进行D[0][j]=D[i][0]=0的初始化之后，以行计算为内层循环，列计算为外层循环，即可求得最终的结果。从该例子中可以看出，最大价值11的获得是选择物品大小为3、5后得出的，中间结果D[2][7]是当前情况下的最优解(物品大小为3、4)，但却不是全局最优解的一部分。可以得到的结论是：动态规划可以处理的问题的特点是：全局最优解不能由局部最优解得到。

动态规划法求解代码如下：(C语言描述，数据输入输出均以文件形式给出，输入文件为input.in，输出文件为output.out)

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX(a,b) (((a)>(b))?(a):(b)) #define MAX_WEIGHT 1001 //最大容量为1000，请按需要修改#define MAX_AMOUNT 201//物品最大量为200，请按需要修改int Knapsack(int T,int N,int *w,int *v){int D[MAX_AMOUNT][MAX_WEIGHT];int i,j;for (i=0; i<MAX_AMOUNT; i++){for (j=0; j<MAX_WEIGHT; j++){D[i][j] = 0;}}for (i=1; i<=N; i++){for (j=0; j<=T; j++){if (w[i]>j){D[i][j] = D[i-1][j];}else{D[i][j] = MAX(D[i-1][j],D[i-1][j-w[i]]+v[i]);}}}return D[N][T];}void main(){int N,T,v[MAX_AMOUNT],w[MAX_AMOUNT],i,result;FILE * fp;fp = fopen("input.in","r");fscanf(fp,"%d",&T);fscanf(fp,"%d",&N);for (i=1; i<=N; i++){fscanf(fp,"%d",&w[i]);fscanf(fp,"%d",&v[i]);}result = Knapsack(T,N,w,v);fp = fopen("output.out","w");fprintf(fp,"%d",result);fclose(fp);}

    求解该问题还可以用回溯法求解。回溯法的基本思想是：在前i-1件物品的选取情况下，考虑第i件物品是否选取。如有三件物品，假设第1件物品不选取，第二件物品不选取，第3件物品选取，判断是否满足容量限制条件，满足条件时记录当前价值；假设第1件物品不选取，第二件物品选取，第3件物品选取判断是否满足容量限制条件，满足条件时记录当前价值……如此直到所有情况均计算过后方可得到最优解。可简单表示为下图：

由图可知，该二叉树的层数为物品数量N，最下面一层数量为2ⁿ，也就是说该问题的时间复杂度为O(2ⁿ)，在算法中这是一个不可接受的时间复杂度，特别是当问题规模在10¹以上后，时间开销将会非常的大。

回溯法求解代码如下：(C语言描述，数据输入输出均以文件形式给出，输入文件为input.in，输出文件为output.out)

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int N,T,v[1001],w[1001],result=0;//物品数量最大支持1000，请按需要修改void Knapsack(int i,int cur_W,int cur_V){if (i<=N){if ((T-cur_W)>=w[i]){Knapsack(i+1,cur_W+w[i],cur_V+v[i]);}//SELECT[i]=0;Knapsack(i+1,cur_W,cur_V);}else{if (result<cur_V){result = cur_V;}}}void main(){int i;FILE * fp;fp = fopen("input.in","r");fscanf(fp,"%d",&T);fscanf(fp,"%d",&N);for (i=1; i<=N; i++){fscanf(fp,"%d",&w[i]);fscanf(fp,"%d",&v[i]);}Knapsack(1,0,0);fp = fopen("output.out","w");fprintf(fp,"%d",result);fclose(fp);}

附件：测试数据。来源：网络(感谢数据提供者)。组织方式：输入文件knapsackX.in，对应输出文件knapsackX.out，共24组。

对于回溯法，测试数据只有前三组可以处理，剩下的测试数据规模过大，无法在可接受时间内完成。

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