TOJ 3345

题目连接:

http://acm.tzc.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=3345

题目类型:

数论 - 积性函数 - 因子

数据结构:

无

思路分析:

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由于 gcd( i, m * n ) = gcd( i, m ) * gcd( i, n )  m, n 互质, 所以 gcd 为积性函数

令f( n ) = ∑ gcd( i, N ), ( i <= i <= N )

得到 f( n ) = sum( p * phi( n / p ) ); [ phi() 为欧拉函数 ]

由此推导 f( p ^ r ) = r * ( p ^ r - p ^ ( r - 1 ) ) + p ^ r;

吧 n 素因子分解 成 ( p1 ^ k1 ) * ( p2 ^ k2 ) * ( p3 ^ k3) ........

由积性函数得到

f( n ) = f( p1 ^ k1 ) * f(  p2 ^ k2 ).........

再套用上面的公式即可

证明:

略

源代码:

#include <iostream>#include <stdio.h>using namespace std;typedef __int64 int64;int main(){int64 n;while( scanf( "%I64d", &n ) != EOF ){int64 i, x = 1, r = 0, snt = 1;for( i = 2; i * i <= n; i ++ ){if( n % i == 0 ){x = 1; r = 0;do{n /= i;x *= i;r ++;} while( n % i == 0 );snt *= ( r + 1 ) * x - r * x / i;}}printf( "%I64d\n", n > 1 ? snt * ( 2 * n - 1 ) : snt );}return 0;}