如何判断一个数是不是素数(prime number) 方法



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费马小定理：对于两个互质的素数N和P，必有：N^(P-1)%P=1
    那么我们通过这个性质来判断素数吧，当然，你会担心当P很大的时候乘方会很麻烦。不用担心！我们上面不是有个快速的幂模算法么？好好的利用蒙格马利这位大数学家为我们带来的快乐吧！

算法思路是这样的：
    对于N，从素数表中取出任意的素数对其进行费马测试，如果取了很多个素数，N仍未测试失败，那么则认为N是素数。当然，测试次数越多越准确，但一般来讲50次就足够了。另外，预先用“小学生”的算法构造一个包括500个素数的数组，先对Q进行整除测试，将会大大提高通过率，方法如下：

bool IsPrime3(unsigned n)
{
    if ( n < 2 )
    { // 小于2的数即不是合数也不是素数
        throw 0;
    }
    static unsigned aPrimeList[] = {
        2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 41,
        43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
    };
    const int nListNum = sizeof(aPrimeList) / sizeof(unsigned);
    for (int i=0;i<nListNum;++i)
    { // 按照素数表中的数对当前素数进行判断
        if (1!=Montgomery(aPrimeList[i],n-1,n)) // 蒙格马利算法
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

    OK，这就专家的作法了。
    等等，什么？好像有点怪，看一下这个数29341，它等于13 * 37 * 61，显然是一个合数，但是竟通过了测试！！哦，抱歉，我忘了在素数表中加入13，37，61这三个数，我其实是故意的，我只是想说明并费马测试并不完全可靠。
    现在我们发现了重要的一点，费马定理是素数的必要条件而非充分条件。这种不是素数，但又能通过费马测试的数字还有不少，数学上把它们称为卡尔麦克数，现在数学家们已经找到所有10 ^ 16以内的卡尔麦克数，最大的一个是9585921133193329。我们必须寻找更为有效的测试方法。数学家们通过对费马小定理的研究，并加以扩展，总结出了多种快速有效的素数测试方法，目前最快的算法是拉宾米勒测试算法，下面介绍拉宾米勒测试。


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拉宾米勒测试

    拉宾米勒测试是一个不确定的算法，只能从概率意义上判定一个数可能是素数，但并不能确保。算法流程如下:
    1.选择T个随机数A，并且有A<N成立。
    2.找到R和M，使得N=2*R*M+1成立。
    快速得到R和M的方式：N用二进制数B来表示，令C=B-1。因为N为奇数（素数都是奇数），所以C的最低位为0，从C的最低位的0开始向高位统计，一直到遇到第一个1。这时0的个数即为R，M为B右移R位的值。
    3.如果A^M%N=1，则通过A对于N的测试，然后进行下一个A的测试
    4.如果A^M%N!=1，那么令i由0迭代至R，进行下面的测试
    5.如果A^((2^i)*M)%N=N-1则通过A对于N的测试，否则进行下一个i的测试
    6.如果i=r，且尚未通过测试，则此A对于N的测试失败，说明N为合数。
    7.进行下一个A对N的测试，直到测试完指定个数的A

    通过验证得知，当T为素数，并且A是平均分布的随机数，那么测试有效率为1 / ( 4 ^ T )。如果T > 8那么测试失误的机率就会小于10^(-5)，这对于一般的应用是足够了。如果需要求的素数极大，或着要求更高的保障度，可以适当调高T的值。下面是代码：

bool RabbinMillerTest( unsigned n )
    {
    if (n<2)
    { // 小于2的数即不是合数也不是素数
        throw 0;
    }

    const unsigned nPrimeListSize=sizeof(g_aPrimeList)/sizeof(unsigned);//求素数表元素个数
    for(int i=0;i<nPrimeListSize;++i)
    {// 按照素数表中的数对当前素数进行判断
        if (n/2+1<=g_aPrimeList[i])
        {// 如果已经小于当前素数表的数，则一定是素数
            return true;
        }
        if (0==n%g_aPrimeList[i])
        {// 余数为0则说明一定不是素数
            return false;
        }
    }
    // 找到r和m，使得n = 2^r * m + 1;
    int r = 0, m = n - 1; // ( n - 1 ) 一定是合数
    while ( 0 == ( m & 1 ) )
    {
        m >>= 1; // 右移一位
        r++; // 统计右移的次数
    }
    const unsigned nTestCnt = 8; // 表示进行测试的次数
    for ( unsigned i = 0; i < nTestCnt; ++i )
    { // 利用随机数进行测试，
        int a = g_aPrimeList[ rand() % nPrimeListSize ];
        if ( 1 != Montgomery( a, m, n ) )
        {
            int j = 0;
            int e = 1;
            for ( ; j < r; ++j )
            {
                if ( n - 1 == Montgomery( a, m * e, n ) )
                {
                    break;
                }
                e <<= 1;
            }
            if (j == r)
            {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}