[图论]Dijkstra 算法小结

Dijkstra 算法小结 

By Wine93 2013.11

1 Dijkstra 算法相关介绍

算法阐述：Dijkstra是解决单源最短路径的算法,它可以在O(n^2)内计算出源点(s)到图中任何顶点的最短路,但是该算法不能处理存在负权边的图(证明中会给出)。

Dijkstra一般有2种实现，一种采用邻接矩阵，复杂度为O(n^2)，这种实现适用于稠密图 (边多点少)，还有一种是采用临接表+heap(可用优先队列代替)实现，实现的复杂度为( m*log(n) )   (m为边数,n为顶点数)，该实现适用于稀疏图(边少点多)，各有各的优缺，视实际情况选择.

 算法简单证明:Dijkstra有2张表(OPEN,CLOSE),我们可以认为一个表存储已经已经计算出最短路径的顶点(假设U)，而另一个则存储没有计算出最短路径的顶点(假设V)。Dijkstra每次都取出具有最短路径的顶点(假设NOW),视其就是该顶点的最短路.因为在当前U表中全部扩展的顶点中，NOW顶点是路径最短的顶点，也就是说，其他当前全部可以到达的顶点中,只有大于或等于NOW顶点，如果 通过这些顶点再到达NOW顶点,势必会比现在NOW顶点的路径长，因为原来就大于等于NOW顶点了, 所以NOW顶点路径长度就是源点到该顶点的最短路径.但是如果存在负权边，则会出现通过其他顶点到达NOW顶点的路径长度小于当前NOW顶点的路径长度，这就是为什么Dijkstra不能处理负权边了(请读者看下面例图,模拟下Dijkstra的执行过程)

2.Dijkstra的相关应用举例

一.基础题

POJ 1511 Invitation Cards 

POJ 3013 Big Christmas Tre(重点在于思维的转换)

二.变形题

POJ 1797 Heavy Transportation

POJ 2253 Frogger

 将这2题放在一起讲(2题都可用2分解)，我们可以利用Dijkstra特殊的结构解决一类问题----单调路径(况且这么叫),所谓单调路径，即为对于任何一条路径, 我们所求的值只会成单调变化

拿POJ1797来说,每经过一条路径,weight的值只会减少(甚至不变)，不会增加,看下图(边权值表示 weight,红色顶点为起点，绿色为终点,顶点下数字表示从起始点到达该顶点的weight值)

我们可以发现weight呈现非递增,而我们要求的则是weight的最大值,也就是说我们求的和它的趋势相反都可用Dijkstra来题解(请看下图),这跟Dijkstra可用heap优化是异曲同工(可以认真理解证明)

如果所求值和趋势为同一走向则不能用Dijkstra求解(如最长路)

 三.好题 

 POJ 3463 Sightseeing

3.个人心得

Dijkstra的变形和应用非常多,需要一定的时间和题量积累，但是只要能深入理解Dijkstra的贪心 策略以及他在单调路径上(况且这么叫)的作用，很多问题都会迎刃而解