图像的域变换

数字图像处理中开始最难理解的莫过于图像的傅里叶变换和原图像之间的关系的理解。这就涉及到图像与其他域之间的变换关系以及意义，本文主要简单地谈谈它们之间的变换及意义。（由于本人水品有限，错误在所难免，若有错误，望赐教，旨在完善本文的内容）
图像的空间域与其他域之间的变换，如傅里叶变换，小波变换，轮廓波变换，剪切波变换等，实际上是图像在其他坐标领域中的表现，空间域中，图像的信息是像素值和坐标位置。其他域中，如傅里叶变换，图像的信息就是频率和幅度。简单的讲就是从不同的角度看图像而已。下面主要讲述下域和域之间是如何变换的：
都知道，一维函数傅立叶变换得到的结果也是一个一维函数，这个变换后的函数描述了原函数的局部变化程度，而不是变化率；变化率和变化程度，我觉得是不同的概念，变化率只是个数字，一般用百分比表示，百分比只是和一百来比；还有，变化率在函数中一般用函数在某一点的切线斜率来描述，然而我们知道并非所有的函数都是有切线的，尤其是图像函数，只有可微函数才有切线。然而，傅立叶变换只是要求函数是可积的，这个条件比起可微要弱很多，也就是说能傅里叶变换的函数必须可积；变化程度当然是描述函数某一点函数值变化的大小，在图像中就是说图像中某一像素突变的程度。那傅立叶变换是怎样描述函数变化程度呢？首先回顾下高等数学中的泰勒公式，对于一个任意阶可微函数，它都能用一个多项式来近似它，

一般地，这个多项式是无限的，实际应用中，高阶多项式的结果影响是很小的，可以忽略不计，那么这个函数就能近似写成有限多项式，从而大大方便实际的应用了。从代数空间上来讲，多项式就是一个空间，且是一个线性空间，其一组基就是；也可以是x和一个常数和的次方,之间只要作用一个可逆矩阵就可以相互变换了。现在回头看，任意一个可微函数可以变换为一个多项式空间，这个空间我们可以认为是一种域，原函数我们称之为空间域，多项式空间的基在空间域上的图像是直线，二次曲线，波浪线等等，那任意一个函数就可以表示为这些函数在空间域上的一种线性组合，且唯一，唯一性是由线性空间的性质所决定，一个可微函数就可以由这些多项式组合得到，从空间上讲就是多项式这些直线曲线的叠加。到此我们就知道其实函数是可以表示成空间基的组合的。那傅立叶变换也是，只是它的空间的基是相互正交的，也正是如此，才能通过积分形式求解线性组合中某个基对应的常数。其实它的基是三角函数，可以是sin，也可以是cos。我们知道sin和cos是一样的，所以无所谓用哪个表示。ok，既然傅立叶变换是将一个可积函数变换成三角函数空间的组合，那么该函数图像必然是由这些三角函数线性叠加而成的。三角函数我们知道它是有频率和振幅的，这就是信号中的频率和响度。一般信号中高频是声音响度变化迅速的成分，低频就是变化缓慢的成分，从函数上来讲高频就是，周期短，比较紧凑的三角函数，低频反之。低频和高频的形象描述就是我们音乐播放器中的频谱图，上面是由很多串高度条，这些高度条的横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，任意一个三角函数就是由频率和振幅决定其形状的！横坐标从左到右频率匀速增加，纵坐标从下到上振幅匀速增加。那某一个信号可以表示成若干正交的三角函数的线性组合，也就是由若干不同的频率和振幅，画起来就是咱们播放器的频谱图了。(笛卡尔同学说过，任何数学问题都可以用坐标来解决（没记错应该是笛卡尔），而某某某在某天某日说生活中的任意问题都可以用数学模型来解决，由此推理得：生活中任意问题都可以用坐标来模拟之。)

现在总结之，无论频谱图还是信号图，他们都是2维的，只是用了傅立叶变换将两者联系了起来，都是二维，但是在不同的空间表达的意义不同，在高等代数中我们称这两种空间是同构的。如果存在某种线性变换，使得这两种空间能相互变换，则称之为线性同构。到此为止，我们知道了傅立叶变换的实际意义以及相互是如何变换的，那对于图像其实也是一样，傅里叶变换后的频率分成低频和高频两部分，这样我们就可以处理图像了。如一般噪声点，尤其是周期噪声点的频率比较高，通过傅立叶变换来减弱高频或者消除低频就可以达到去噪目了。