浅谈欧拉图、半欧拉图(Eulerian graph、semi-Eulerian graph)

做了这么多题目，遇到要用欧拉图性质的不算多。但觉得还是有点用，有必要做点笔记。

先看看欧拉图和半欧拉图的定义：

欧拉回路：图G中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路

欧拉通路：图G中经过每条边一次并且仅一次的路径称作欧拉通路。

那么

欧拉图(Eulerian graph)指的就是存在欧拉回路的图。

半欧拉图(semi-Eulerian graph)指的是存在欧拉通路但不存在欧拉回路的图。

再来看看二者存在的条件：

1.无向图中：

    无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。
　　
　　无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。

2.有向图中：

　　有向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图，且所有顶点的入度等于出度。
　　
　　有向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图，且存在顶点u的入度比出度大1，v的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。

最后来看一道例题：

来自Codeforces Round #215 (Div. 1)的C题 Sereja and the Arrangement of Numbers

题意看这里：http://blog.csdn.net/gzh1992n/article/details/16976379

这题如何求解？

      显然我们二分要使用多少种数字(假设x个)，然后取前x大的花费累加起来就是答案。

      但是现在有一个问题，我们要知道x种数字构造出符合要求的序列最短长度是多少。如果最短长度小于等于要求的长度，那么我们取前x大的就是可行的。

如何求最短长度？这就用到欧拉图的性质了。

      我们可以把给定的m个数看成点，对于序列中的a[i]a[i+1]，看成一条有向边，从a[i]这个点指向a[i+1]。我们需要加入这样的边尽可能少，然后构成一张存在欧拉通路或者回路。这样就能从一个点出来，遍历完所有边一次，再到某个点结束，连起来的路径就是我们要的那个序列。

      如果我们有x个数字，那么至少要连x*(x-1)/2条有向边，一共会有x*(x-1)/2出度和入度。当然你可以让某个点都指向其余点，但这样这个点的入度！=出度，就不是欧拉图了。所以我们要调整x*(x-1)/2条有向边的方向，使得符合要求。

      比如4个点，可以1->2,1->3,1->4这样连接，1的出度是3。我们可以把1->4改为4->1来降低1的出入度，同时1和4还是连着的，这样序列中依然存在a[i]=4,a[i+1]=1。

      假如x为奇数，那么(x*(x-1)/2)/x=(x-1)/2刚好能被整除，那么所有点的入度都等于出度，直接是欧拉图了，存在欧拉回路。

   对于偶数，(x-1)/2不能被整除，那需要加上x/2条边才能被整除。但是我们要求的是添加最少边，我们可以少加一条，这样就会存在两个点u,v。u的出度比入度多1，v的入度比出度多1。这样就构造出了半欧拉图，存在欧拉通路。

     最后注意下，边数+1才是构造出的序列长度。代码在上面的链接中有。

后续有遇到用到欧拉图性质的好题会继续放上来更新，原来有遇到过忘了是哪里的了，欢迎推荐。