算法之旅 Euclid算法的扩展

来源：互联网发布：网络社团有哪些编辑：程序博客网时间：2024/06/07 05:13

Euclid算法的扩展

真言

有时候真的感觉时间不够用，村里人事挺多的，时间就这么浪费了。

算法

Euclid算法是求最大公约数的，介绍请点击在这。
Euclid算法的扩展如下
引理如果d整除a和b，同时存在整数x和y，使得d = ax+by成立，那么一定有d = gcd（a，b）。
证明如下
d能整除 a和b，d <= gcd(a,b).
d能整除 a和b，d就能整除 ax和by，gcd(a,b) <= d.
so gcd(a,b) == d
递归思想从上往下
a，b -----> b, a mod b
从下往上
b*x' + (a mod b)*y' = d -----> a*x + b*y = d
but how can we get x and y? Solution follows

if(b == 0)
x = 1, y = 0, d = a

实验

代码

test.cpp

#include<iostream>using namespace std;class xyd{public:int x ;int y ;int d ;};// function Euclid xyd * Euclid_extra(int a,int b);// function main int main()  {  int a,b,i = 0;  xyd * R = new xyd;int max;while( i<55 )  {  a = rand()%10;  b = rand()%10;  if( a<b ){max = b;b = a;a = max;}R = Euclid_extra(a,b) ;if( R ){cout<<"a="<<a<<",b="<<b<<",R->x="<<R->x<<",R->y="<<R->y<<",d="<<R->d<<endl;cout<<"a*x + b*y = "<<R->d<<endl;}i++;  }  system("pause");  return 0;  }  // function Euclid xyd * Euclid_extra(int a,int b){if( a <= 0 || b < 0 ){cout<<"exception of Euclid_extra input"<<endl ;return NULL ;}else{int max;if( a<b ){max = b;b = a;a = max;}xyd * R = new xyd; if(b == 0){R -> x = 1;R -> y = 0;R -> d = a;return R;}else{R = Euclid_extra(b,a%b);}xyd * R2 = new xyd;R2 -> x = R -> y;R2 -> y = (R -> x) -  (  (a/b) * (R->y)  );R2 -> d = R->d;return R2;}}

0 0