Lattice paths——格子路径

        这个题目是取自http://projecteuler.net/problem=15上，解决的方法挺简单的，但是我觉得思考方式可以当成一个范例来看待，因此写下点东西做点儿记录。
        Starting in the top left corner of a 2×2 grid, and only being able to move to the right and down, there are exactly 6 routes to the bottom right corner.

    

        How many such routes are there through a 20×20 grid?
    
        从2×2格子的左上角，只能向右和向下移动，有6条路径到达右下角。
        那么，对么20×20的格子，有多少条这样的路径呢？
        对于这种题目的基本思考方式，是反过来想，即，执果索因。

        我们来看最右下角的那个点，要到达它，只有两条路径可走，一条是从它上面的点过来，另一条是从它的左面的点过来。其实，对于除最上面和最左面的两条边上的点来说，到达它们的路径数都能表示成到达其上面和左面点的路径数之和。因此，我们不难想到，可以用一个数组来表示到达各个点的路径数，通过递归或者循环来求得所要得到的数。递归的写法如下：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>long array[21][21];long lattice(int n, int m){if (!array[n][m]) array[n][m] = lattice(n - 1, m) + lattice(n, m - 1);return array[n][m];}int main(int argc, char *argv[]){array[0][0] = 1;int i;for(i = 1; i < 21; i++){array[0][i] = 1;array[i][0] = 1;}long tmp = lattice(20, 20);printf("%ld\n", tmp);return 0;}

        这里得到的数字挺大的，超过了32位机器一个整型所能表示的数的范围。我采用的是长整型，在64位机器上运行的，能得出正确结果，但在32位机器仍然溢出了，最后只好用浮点型来跑。
        闲话少絮，题目很简单，但是采用的解决方法却很典型。通过数组来保存各个点的结果值，这样就不用每次都通过运算来求得。这样的情况在很多题目中都有遇到，或是通过数组来保存状态，或是保存中间值，通过空间换时间，这是我们用程序解决问题的一个基本思考点。另外一点，就是递归，这也是程序解决问题的基本思路，能用递归来解决，也就能转变成用循环来解决。但是递归思路清晰，代码简洁，更容易想到，我们可以先按递归的思路来想，然后根据情况转换成非递归。

上面题目的非递归方法如下：

for(i = 1; i < 21; i++){for(j = 1; j < 21; j++){array[i][j] = array[i-1][j] + array[i][j-1];}}printf("%f\n", array[20][20]);