POJ 1679 The Unique 次最小生成树 MST

http://poj.org/problem?id=1679

题目大意：

给你一些点，判断MST（最小生成树）是否唯一。

思路：

以前做过这题，不过写的是O(n^3)的，今天学了一招O(n^2)的，哈哈~

方法一：

首先先建立MST，然后把这个MST的边一个个尝试不使用，构建另外一颗MST，然后判断权值是否相等。

这样复杂度需要O(n^3)。。

方法二：

还可以用次最小生成树的方法解决：如果最小生成树不唯一，那么次小生成树的权值和最小生成树相同。

我们可以枚举要加入哪一条新边。在最小生成树上加一条边u-v之后，图上会出现一条回路。因此删除的边必须在最小生成树u到v的路径上，而且是这条路径上的最长边。而次最小生成树一定能由最小生成树加一条再删除一条边得到。只需我们求出没对结点u和v在最小生成树中唯一路径的最大边权dp[i][j]，剩下的只需O(m)时间，枚举所有的m-n+1条边进行交换，每次花O(1)时间求出新生成树的权值。总时间复杂度为O(n^2)

方法一：

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN=101;int fa[MAXN];struct point{int x,y;int len;}data[MAXN*MAXN],pre[MAXN*MAXN]; //pre 记录等一下用到了哪些条边bool operator < (const point &a ,const point &b) //sort 重载比较函数{return a.len<b.len;}void UFinit(int n)     //并查集初始化{for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;}int find(int cur)      //带路径压缩的并查集查询函数，简洁而优雅~{return fa[cur]==cur? cur : fa[cur]=find(fa[cur]);}int kruskal(int n,int m,int &prelen){UFinit(n);int ans=0;for(int i=0;i<m;i++){int rootx=find(data[i].x);int rooty=find(data[i].y);if(rootx!=rooty){fa[rootx]=rooty;ans+=data[i].len;pre[prelen++]=data[i];}}return ans;}int kruskal2(int n,int m,int nox,int noy)//nox noy 代表直接连接这两个点之间的边不选{UFinit(n);int ans=0;for(int i=0;i<m;i++){if(data[i].x==nox && data[i].y==noy)continue;int rootx=find(data[i].x);int rooty=find(data[i].y);if(rootx!=rooty){fa[rootx]=rooty;ans+=data[i].len;}}return ans;}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++)scanf("%d%d%d",&data[i].x,&data[i].y,&data[i].len);int prelen=0;                      //pre数组的长度sort(data,data+m);//kruskal 前面的工作int ans=kruskal(n,m,prelen);        //正常版本的kruskalbool unique=true;           for(int i=0;i<prelen;i++){int res=kruskal2(n,m,pre[i].x,pre[i].y);//带去除边的kruskalint cnt=0;for(int j=1;j<=n;j++)if(fa[i]==i)cnt++;               if(cnt!=0)    //这个很重要！没有就WA，因为可能剩下的不连通，但是恰好res==anscontinue;if(res==ans)   //如果还有一棵生成树和第一次所求的权值一样，说明最小生成树不唯一{unique=false;break;}}if(unique)printf("%d\n",ans);elseprintf("Not Unique!\n");}return 0;}

方法二：

#include<cstdio>  #include<cstring>  #include<algorithm>  using namespace std;const int MAXN=100+10;  int n,m,head[MAXN],len,fa[MAXN],nodes[MAXN],n_len;int dp[MAXN][MAXN];bool vis[MAXN];int find(int cur)      //带路径压缩的并查集查询函数，简洁而优雅~  {      return fa[cur]==cur? cur : fa[cur]=find(fa[cur]);  }  struct edge      //MST邻接表  {      int to,next;      double val; }e[MAXN*MAXN];    void add(int from,int to,double val)  {      e[len].to=to;      e[len].val=val;      e[len].next=head[from];      head[from]=len++;  }  struct point  {      int x,y;      int len;  bool operator < (const point &b) const//sort 重载比较函数  {    return len<b.len;  }    }data[MAXN*MAXN]; void dfs(int cur,int fa,int dis){for(int i=0;i<n_len;i++){int x=nodes[i];dp[cur][x]=dp[x][cur]=max(dp[x][fa],dis);}nodes[n_len++]=cur;for(int i=head[cur];i!=-1;i=e[i].next){int id=e[i].to;if(id != fa)   dfs(id,cur,e[i].val);}}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(head,-1,sizeof(head));len=0;memset(vis,0,sizeof(vis));scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0;i<m;i++)              scanf("%d%d%d",&data[i].x,&data[i].y,&data[i].len);  for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;//kruskalsort(data,data+m);int mstlen=0;for(int i=0;i<m;i++){int x=data[i].x,y=data[i].y;int root_x=find(x),root_y=find(y);if(root_x!=root_y){mstlen+=data[i].len;fa[root_x]=root_y;add(x,y,data[i].len);     //kruskal中顺便建立MST的邻接表add(y,x,data[i].len);vis[i]=true;}}n_len=0;memset(dp,0,sizeof(dp));dfs(1,-1,0);int mstlen2=9999999;for(int i=0;i<m;i++){if(vis[i]) continue;int x=data[i].x,y=data[i].y,dis=data[i].len;mstlen2=min(mstlen2,mstlen - dp[x][y] + dis);}//printf("%d\n",mstlen2);if(mstlen == mstlen2)puts("Not Unique!");elseprintf("%d\n",mstlen);}return 0;}