关于几个数

说这些数和公式之前，我想先说下一个非常重要的问题，也就是子问题，所谓子问题，无非就是问题实质和原问题一样，而规模小了一点而已，可能小了1，也可能小了一半，解决一个问题往往要解决它的子问题，然后通过子问题的值推到出原问题的答案，这也是动态规划的精髓之一。

1错排：

有n个人编号1到n，本来都站在各自的位置上，现在让他们站一排，每个人不能站在原来的位置上去，问有都少种排列方法？

现在我觉得我高中数学老师真水，做题碰到这种问题让我们列一遍。

我之所以前面说了子问题，是因为这里要用到，我假设f(n)表示n个人错排的方法数，那么f(n-1)就是n-1个人的错排方法数，那么假如n-1个人错排好了，我加一个人进去，显然我只能放在前n-1个位置的某个位置，假设我放在了位置k（1<=k<=n-1）,那么k这个位置的人放哪里呢，他可以放在n，也可以不放在n，我们按照这样两种情况分，第一种，放在n，那么剩下n-2个人，只要他们也错排就好了，即f(n)的一部分值是由(n-1)*f(n-2)来的。第二种，不放在位置n，那么这种情况下还有多少种情况呢，其实我们在回过头考虑下，f(n)这函数的意义，就是说每个数不能放在原来的位置，也就是说，每个数都有一个位置是不能放的，这其实是等价的，那么对于刚才第二种情况，k不能放位置n，其余n-2个数不能放原来的位置，这就是f(n-1)！因此得到公式

f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))

至于初值，不说也罢，自己算下就好了。

我想说的一点是，这个公式牛逼的地方就是为什么想到按照放不放到n这个位置分开来。

 

2卡特兰数

给你n个左括号和n个右括号，要求把他们排成一排，要保证每个左括号都有一个在它右边右括号和它匹配，问你有多少种排列方法：

我感觉这里有两种意思，算是意味着有两种解题思路吧

首先，我们设f(n)为2*n括号的排列方法数，那么第一个括号肯定是左括号，它可以和某个右括号匹配，但是非常重要的一点是假如第一个和第K个括号匹配（2<=k<=2*n)，那么k必须是偶数，否则，第一个到第k个直接之间（不包括1和k）存在了奇数个符号，肯定满足不了匹配，那么根据k的取值切开后，我们会发现2到k-1也是合法的字符串，k+1到2*n之间也是合法的，才能保证总体是合法的，枚举k后有：

f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+.....+f(n-2)*f(1)+f(n-1)*f(0),其中f(0)=1

那么我们是可以在O(n*n)时间内可以把f(n)求出来的。

不过其实这个问题还有另外一层意思 ，那就是对于任意前k个长度的括号串，必须保证左括号的个数大于等于右括号个数。否则右括号比左括号多，那么之后的n-k的括号，左括号比右括号多，是无论如何都满足不了任意一个左括号能和一个右括号匹配的。按照这种思路有一种做法是用所有的排列数，减去非法的字符排列数，不过比较复杂，这里略过。

阿里曾有一道笔试题，给你2*n个人，让他们站成2排，每排n人，必须保证，左边的人比后面的人矮，前面的人比后面的人矮，问你有多少种站法，本题的答案据说是卡特兰数，解释起来比较复杂， 大家可以好好思考下。

 

3斯特林数：

斯特林数有2类：首先说一下第二类斯特林数，给你n物品和一个数k，求把这n个物品分成k个非空集合的方法数。

我觉得这整个问题真的扯到了动态规划，设dp[i][j]表示i个物品分成j个非空集合的方法数，那么整个问题可以由2种状态转移过来，第一，就是第i个物品自己为一类，那么问题转化成了dp[i-1][j-1],第二，第i个物品是加到j类中的某一类的，那么由dp[i-][j]*j,所以有方程：

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+j*dp[i-1][j]

注意几个初值就能解决整个问题了。

第二类斯特林数和第一类的区别是，第二类分完类算是完成任务了，但是第一类还有一个轮换过程，就是它考虑了顺序。第一类斯特林数是指将n个物品分成k个非空集合的方法数(集合中有相同的物品但是不同的轮换算不同分法)。

这里说一下，轮换，比如好4个物品围成一个圈，ABCD 和BCDA，CDAB,DABC是相同的轮换，其他的4个物品的排列则都不是。所以第一类斯特林数是大于等于第二类，因为第一类在相同的物品下，还有一个排列顺序，而第二类并不考虑顺序。接下来来看方程。

和第一类类似的是，dp[i][j]也有一个状态是dp[i-1][j-1],此时第i个物品自己为一类，所以没有顺序而言，但是对于dp[i-1][j]就是说，我们将第i个物品放到j个类中去，就算是同一类根据不同的位置也算不同的方法，到底有多少种呢。答案是i-1(这个i-1可能不是那么好想),因为插入到物品中间都是不同的情况，所以有方程

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+(i-1)*dp[i-1][j]

关于这种排列组合题，个人觉得多思考练习下逻辑思维能力还是不错的，我觉得动态规划真的是个很神奇的东西，很多问题，都能用它解决。