projecteuler No.78 Coin partitions

来源：互联网发布：淘宝小型家庭清冼机编辑：程序博客网时间：2024/05/18 16:56

原文题目链接：

http://projecteuler.net/problem=78

翻译题目链接：

http://pe.spiritzhang.com/index.php/2011-05-11-09-44-54/79-78

通过人数：8032

题目分析：

粗一看，像是一道很经典的动态规划问题。于是我设基本状态(m,n)为m个硬币分n堆放所可以放的种类数，以(m,n)=(m-1,n-1)+(m-n,n)为递推关系，写出了如下代码：

#include<stdio.h>int m[21000]={0};int p[21000][21000]={0};int main(){for (int i = 1; i < 10000; i++){for (int j = 1; j <= i; j++){if (i == j)p[i][j] = 1;else{p[i][j] = p[i - 1][j - 1];if (i >= 2 * j)p[i][j] += p[i-j][j];}p[i][j] = p[i][j] % 1000000;}for (int j=1;j<=i;j++){m[i] += p[i][j];m[i] = m[i] % 1000000;}if (m[i] == 0)printf("%d %d\n",i,m[i]);}return 0;}

于是非常悲惨的发现：在内存允许范围内，没有找到...

接下来我尝试了将超过内存范围的地方使用递归，未超出的地方从数组取值的解法，但非常悲惨也非常正常的发现递归部分非常慢...一天之内算不完...

于是我上网查了一下资料，注意到了以下一片博文：

Project Euler 78: Investigating the number of ways in which coins can be separated into piles.

在这其中提到了维基百科中的这个条目：Partition(number theory)

那里有如下公式：（其中p(n)表示n个硬币的分堆数即整数n的分拆数）

$\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{k=1}^\infty \left(\frac {1}{1-x^k} \right).$ .............................................（1）
上式将等号右边按等比级数分解之后其组合意义就显然了。上式的右边即为p(n)的母函数

而p(n)的母函数的倒数即为欧拉函数，其系数有五边形数定理：

$\prod _{{n=1}}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{{k=-\infty }}^{\infty }(-1)^{k}x^{{k(3k-1)/2}}=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{k}x^{{k(3k\pm 1)/2}}.$

即：（等号右边的系数为广义五边形数）

$(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{{12}}-x^{{15}}+x^{{22}}+x^{{26}}+\cdots .$ （2）

将以上两式联立，有：

$(1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{{12}}-x^{{15}}+x^{{22}}+x^{{26}}+\cdots )(1+p(1)x+p(2)x^{2}+p(3)x^{3}+\cdots )=1$

进行系数比较，即可得到p(n)的递推公式：

$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots$

其减去的值的序列为广义五边形数序列，满足：

$p_{n}={\frac {3n^{2}\pm n}{2}}$

这下，有了比较好的公式，就可以做了~

解题过程（代码仅供参考，因为偷懒，代码风格什么的实在不好意思...）：

一、生成所需的广义五边形数序列：

int a[1000];for (int i=0;i<1000;i++){int n=(i+1)/2;if (i%2==0)a[i]=(3*n*n+n)/2;elsea[i]=(3*n*n-n)/2;}

二、计算整数分拆序列并求出所需值：

int n[100000]={0};n[0]=1;for (int i=1;i<100000;i++){for (int j=1;a[j]<=i;j++){if (j%4==1||j%4==2)n[i]+=n[i-a[j]];elsen[i]-=n[i-a[j]];}n[i] = n[i] % 1000000;if (n[i]==0)printf("%d\n",i);}

打印出所求值：55374

感觉还是要好好学习数学...这道题主要花的时间都花在错误的尝试和看数学证明上了。

以上只是我做题时的解法。

如果有更好的解法、更好的思路，欢迎评论讨论~O(∩_∩)O~

0 0