简谈--动态规划2

问题的解空间：

对于一个问题，它大部分情况下是有解的。大部分情况下，我们可以很容易确定一个问题的解空间。通俗的说，就是这个问题可能的答案集合。

我们很多时候需要做的，就是在问题的解空间中寻找满足题目要求的解。

搜索：

理论上说，这些问题我们都可以通过搜索问题的解空间获得答案。搜索也被称作通用解题法

但是，很多时候搜索是无法解决问题的。我们通常说一个问题解决是要有一定的时空限制，而很多时候问题的解空间非常大。

比如，一个包含n个城市的地图中。我们寻找一条从a-b的路线，可能的方法就用n!。在n比较大时搜索时无法解决的。

动态规划的动机：

很多时候，在搜索过程中实际上有很多中间结果被我们重复搜索或有解显然不可能是最优解的解被搜索。而动态规划就是希望减少不必要的搜索和重复子问题。缩小解空间，达到迅速得到最优解的目的。

下面举例说明一下：

递归的重叠子问题：

斐波那契序列：

f(1)=1;

f(2)=1;

f(n)=f(n-1)+f(n-2); (n>2)

斐波那契序列的递归实现：

int Fibonacci(int n)

{

    if(n==1||n==2) return1;

    returnFibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);

} 

在上述递归过程中，计算f(4)和f(3)都需要去计算f(2)，导致对同一个值f(2)计算了两次，浪费了时间，我们把这种情况叫做递归的重叠子问题．

一种避免递归的重叠子问题的方法就是，当我们求出一个值的时候，就把它保存起来，当下次再用到这个值的时候，直接调用保存的值，而不是再计算一次．

代码如下：

int num[30];

for(i=0;i<30;i++) num[i]=-1;

int Fibonacci(int n)

{

     if(num[n]!=-1)return num[n];

     if(n==1||n==2)num[n]=1;

     elsenum[n]=Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);

     return num[n];

}

动态规划：

实际上，动态规划的实质就是通过保存计算过的状态，来避免递归的重叠子问题．解决冗余，是动态规划的根本目的．

动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。选择动态规划算法是因为动态规划算法在空间上可以承受，而搜索算法在时间上却无法承受，所以我们舍空间而取时间。

动态规划的适用条件：

１．最优化原理（最优子结构性质）
最优化原理可以这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。 

２．无后向性
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

动态规划的实现：

动态规划一般有以下两种实现方法：

１.记忆化搜索：当需要求一个状态时，首先看这个状态是否被计算过，如果计算过，直接使用计算过的值；否则，计算一次，并保存结果．

一般用递归实现，也就是刚才我们求斐波那契序列所使用的方法．

２.递推：所谓递推就是，按照一定顺序将一定范围内的所有状态都计算出来．

一般用非递归的形式实现．

<典型问题>

典型问题一：计数问题

在组合数学中，我们经常会遇到一系列的计数问题。大家似乎总习惯于推一个公式求解。但事实上，很多时候我们可以用动态规划的思想递推求解这样的问题。

例题1：从1-N中选k个数，相邻的两个数不能同时选，问有多少种选择的方案（0<N<=50）

提示：

首先我们确立状态，显然可以用dp[i][j]表示前i个数中选择j个方案数。假设当前我们已经求出了dp[i][j]的值，那么现在只要我们能通过dp[i][j]求出dp[i+1][j]和dp[i][j + 1]，就可以递推求出所有的dp[i][j]了。

状态转移方程dp[i][j] =dp[i-2][j-1] +dp[i-1][j];（边界条件dp[i][1] = i）

典型问题二：数塔问题

从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。

对问题的解空间搜索(暴力)解空间，即所有路径。

Dfs(i, j) {

 if (i > n) {

  ans >?=cmax;

  return ;

  }

  cmax += Triangle[i][j];

  Dfs(i+1, j);

  Dfs(i+1, j+1);

  cmax -= Triangle[i][j];

}

分析：对n层的数塔，路径数为2^n-1。

问题的子结构：

假设一个最优解的路径所到达的最底层位置是k，即最后选Triangle[n][k]。能到达Triangle[n][k]的只有Triangle[n-1][k-1]和Triangle[n-1][k]。再假设此最优路径经过Triangle[n-1][k]。 问题：从Triangle[1][1]到达Triangle[n-1][k]的路径是不是最优的？

最优子结构：

用cut&paste，可证得此路径必然是最优的。这是DP最基本的原理。现对到达Triangle[i][j]的路径，设为状态ans[i][j]。由上分析可得到一个递推关系式:ans[i][j] = max{ans[i-1][j],ans[i-1][j-1]} + Triangle[i][j]此式即状态转移方程，加号前面项即所做出的决策。初始化(边界)：置ans表为0。

重叠子问题：

对状态ans[i][j]和ans[i][j+1]，这两个状态都可能由ans[i-1][j]转移而来。那么这样，自顶向下计算、转移，每次会重复计算子问题多次。所以应该用自底向上的计算方式，对此题，即每次先计算第i-1层的最优值。

典型问题三：最长上升子序列

问题描述：

给出一个序列，求它最长的上升子序列．例如，序列{1,7,3,5,9,4,8},其中{1,7}, {3,4,8},{1,3,5,8},都是它的上升子序列，而{1,3,5,8}是它的最长的上升子序列．

提示：状态选择：best[i]代表以序列中第i个数为最后一个数时，最长上升子序列的长度．状态转移方程：best[i]=max{1,max{best[j]+1,num[j]<num[i]&&j<i}}所有best[]值里最大的那个就是最优值．初始条件：best[i]=1,1<=i<=n．

核心代码：

for(i=1;i<=n;i++) best[i]=1;

for(i=1;i<=n;i++)

{

    for(j=1;j<i;j++)

    {

           if(num[j]<num[i]&&best[j]+1>best[i])

                   best[i]=best[j]+1;

    }

}

max=0;

for(i=1;i<=n;i++)

 if(best[i]>max) max=best[i];

典型问题四：最长公共子串

问题叙述：

给出两个字符串，求它们最长的公共子字符串．比如，两个字符串abcfbc和abfcab，其中abb,abcb,abfc都是它们的公共子串，而abcb,abfc是它们的最长公共子串

提示：状态选择：dp[i][j]代表第一个字符串前i个字符组成的字符串与第二个字符串前j个字符组成的字符串的最长公共子串的长度．状态转移方程：如果str1[i]==str2[j],dp[i][j]=dp[i-1] [j-1]+1;否则dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i] [j-1]}.初始条件：dp[0][j]=0,0<=j<=len2;dp[i][0]=0,0<=i<=len1.

for(i=0;i<=len1;i++) dp[i][0]=0; 

for(j=0;j<=len2;j++) dp[0][j]=0; 

for(i=1;i<=len1;i++)            

for(j=1;j<=len2;j++)

{

   if(str1[i]==str2[j])

       dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; 

   else dp[i][j]=dp[i-1][j]>dp[i][j-1]?dp[i-1][j]:dp[i][j-1];

} 

学无止境，稍稍分享了一下心得~~