第六章 背包问题——01背包

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本章主要讲述最简单的背包问题，从如何建立状态方程到如何根据状态方程来实现代码，再到如何优化数据结构，让我们对动态规划的建立与求解认识更加透彻

题目：

有N件物品和一个容量为V的背包。放入第i件物品的费用是Ci，得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值和最大。

分析：

（一）建立状态方程

这是最基础的背包问题，直接说状态转移方程了，设dp[i][v]表示前i件物品放入容量为v的背包能获得的最大价值，每件物品可以选择放与不放，则有：

dp[i][v]=max{dp[i-1][v],dp[i-1][v-Ci]+W[i]}

稍微解释一下，当第i件物品不放时，则dp[i][v]=前i-1件物品恰好放入v容量的背包，即dp[i-1][v]，当i件物品放时，那就说明前i-1件物品放的容量为v-Ci，这样才能正好将第i件物品放进去，即dp[i-1][v-Ci]+Wi

（二）根据状态方程实现代码

状态方程建好之后，下面就是如何将它用代码实现，要考虑的主要问题就是：在给dp[i][v]赋值前，dp[i-1][v]和dp[i-1][v-Ci]必须已经赋过值了，带着这个问题我们来看，对于这样一个转移方程，二维的，肯定需要至少两层遍历，需要考虑两个方面：

1、这两个二维变量是从前向后遍历还是从后向前遍历

2、这两个变量的先后遍历顺序

先看第一个方面：

看到方程里有两个变量，i与v，先看i，i的关系是靠i-1推过来的，所以i毫无疑问一定是从0开始到n遍历，再看v，v一定是比v-Ci大的，所以v也一定是从最小的值0开始到最大的值V，

然后再来看顺序，即是先遍历i还是先遍历v的问题，我们看到这个状态转移方程的i只与i-1有关，即i变量只变动了1，而此时v变量是从v-Ci到的v，中间变动了Ci，所以此问题毫无疑问，i在外层循环，v在里层循环

最后我们在做下稍微的调整，我们要确保i-1和v-Ci是合法的，所以v不能从0开始了，要从Ci开始，至于i-1，i可以从1开始遍历，用下标1来表示第一件物品，就无需对i-1处理了

根据上面分析，代码就能写出来了，实现代码如下：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define N 3//物品个数#define V 10//背包容量int dp[N+1][V+1];int C[N+1]={0,10,5,5};//Ci表示第i件物品的费用 （i从1开始）int W[N+1]={0,2,2,1};//W[i]表示第i件物品的价值int ZeroOnePack(){for(int i=1;i<=N;i++){for(int v=C[i];v<=V;v++)dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-C[i]]+W[i]);}return dp[N][V];}int main(){memset(dp,0,sizeof(dp));//先对dp初始化cout<<ZeroOnePack();    return 0;}

（三）数据结构优化

接下来，我们要考虑如何对此算法进行优化，

我们先对空间复杂度进行优化

考虑到i只与i-1有关，所以我们可以用滚动数组的方法，将二维压缩到一维，那么我们要做的就是把i这一维去掉，即当前的i对应的dp[v]是由上一状态i-1对应的dp[v]和dp[v-Ci]得到，那么我们在对当前状态的dp[v]进行赋值时，必须得确保这个dp[v]在内层for循环执行完之前是不能再用到的，如果内层for循环是从Ci开始到V，那么对于dp[v]=max(dp[v],dp[v-Ci])，我们看到max里面的v一定是上一状态i-1对应的dp[v]，因为这个dp[v]我们还没用到，（当然了，此时我们已经赋值过的v应是从Ci到v-1），但是对于v-C[i]就不行了，因为v-C[i]很可能就包含在Ci到v-1中，这些值已经变动过了，不再是i-1状态所对应的值了，所以为了保证v-Ci的状态还是之前的状态，我们必须得从后向前遍历，为什么？还是回到方程dp[v]=max(dp[v],dp[v-Ci])，如果是从后向前遍历，那么我们已经赋过值的dp[v]是（dp[V],dp[V-1]......dp[v+1]），那么dp[v]是没动过的，可以，对于dp[v-Ci]，v-Ci<v，一定不在（v+1，V）中，所以成立
做了以上分析，就可以实现代码了

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define N 3//物品个数#define V 10//背包容量int C[N+1]={0,10,5,5};//Ci表示第i件物品的费用 （i从1开始）int W[N+1]={0,2,2,1};//W[i]表示第i件物品的价值int dp[V+1];int ZeroOnePack(){for(int i=1;i<=N;i++){for(int v=V;v>=C[i];v--)dp[v]=max(dp[v],dp[v-C[i]]+W[i]);}return dp[V];}int main(){memset(dp,0,sizeof(dp));//先对dp初始化cout<<ZeroOnePack();    return 0;}

然后我们看时间复杂度，在时间复杂度方面，因为必定要访问到所有的i和所有的v，所以n^2复杂度在所难免，那么我们可不可以以减少些循环的次数？答案是肯定的

由于我们只需要求最终结果dp[V]，对于dp[V-1]、dp[V-2]……我们是不需要知道的，但是上面的代码执行完，经过我们以上的分析，这些值是存在的，所以我们可以感觉到，是不是做了些额外的劳动呢？我们来从最终的结果dp[V]往前找找线索，还是这个公式，我们从最后的V向前看：

已知最后一步一定做的是这一步：dp[V]=max(dp[V],dp[V-C[N]]+W[N])，我们看出了dp[V]只与dp[V-C[N]]有关，而比容量V-C[N]小的值是不需要计算的，这也是为什么能求出dp[V-1]、dp[V-2]……d的原因，依次在往前推，在i=N-1时，此时的dp[V]=max(dp[V],dp[V-C[N-1]]+W[N-1])，c此时的V也只与V-C[N-1]有关，由于此前v需要遍历的最小值是V-C[N]，这里在此基础之上又需知道V-C[N-1]的值，所以v需要的遍历的最小值也只要是V-(C[N]+C[N-1])就行了，…………规律看出来了吧，话不多说，贴代码：

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define N 3//物品个数#define V 10//背包容量int C[N+1]={0,10,5,5}; //Ci表示第i件物品的费用 （i从1开始）int W[N+1]={0,2,2,1}; //W[i]表示第i件物品的价值int dp[V+1];int sum[N+1]={0};//辅助数组，用于求C[N]+C[N-1]……int ZeroOnePack(){//常数优化sum[N]=C[N];for(int i=N-1;i>=1;i--)sum[i]+=sum[i+1]+C[i];//endfor(int i=1;i<=N;i++){for(int v=V;v>=max(V-sum[i],C[i]);v--)dp[v]=max(dp[v],dp[v-C[i]]+W[i]);}return dp[V];}int main(){memset(dp,0,sizeof(dp));//先对dp初始化cout<<ZeroOnePack();return 0;}

（四）状态方程深入剖析

适才我们从最终的dp[V]向前讨论，怎么那么像递推的思想呢，由于只需求dp[V]的解，那么递归能否解决呢

还是从这个方程开始dp[v]=max(dp[v],dp[v-C[i]]+W[i])，max中前者指的是不取i获得的值，后者指的是取i获得的值，由此可以写递归代码了

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define N 3//物品个数#define V 10//背包容量int C[N+1]={0,10,5,5};//Ci表示第i件物品的费用 （i从1开始）int W[N+1]={0,2,2,1};//W[i]表示第i件物品的价值int ZeroOnePack(int i,int v){if(i<=0||v<=0)return 0;//不选第i件物品int a=ZeroOnePack(i-1,v);//必须得保证剩下的容量v能够有C[i]的容量，才能选择第i件物品int b=v>=C[i]?ZeroOnePack(i-1,v-C[i])+W[i]:0;return max(a,b);}int main(){cout<<ZeroOnePack(N,V);    return 0;}

（五）变形问题

将题目略微改动一下，附加一个条件，即求恰好装满容量为v的背包所获得的最大值，那么我们该如何求解呢？

我们还是从状态方程开始，从最初的方程说吧，dp[i][v]=max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-C[i]]+W[i])，这里的v就要指恰装满v的背包了，我们来看从上一状态i-1怎么转移到当前状态的，dp[i-1][v]和dp[i-1][v-C[i]]两个值，因为这里要求装满背包，我们无法保证dp[i-1][v]和dp[i-1][v-C[i]]是存在的，即前i-1件物品不一定装满容量v的背包或者是容量v-C[i]的背包，但是如果其中一个是能装满的，另一个不能装满，则一定是选那个能装满的，再看是取这两个值得max值，那么我们就有法了，将初态除dp[0][0]=0外，dp[0][1……V]=负无穷，即1……V的背包起始状态是无效态

#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>using namespace std;#define INF -0x7ffffff#define N 3//物品个数#define V 10//背包容量int C[N+1]={0,10,4,5};//Ci表示第i件物品的费用 （i从1开始）int W[N+1]={0,2,2,1};//W[i]表示第i件物品的价值vector<int> dp;int ZeroOnePack(){for(int i=1;i<=N;i++){for(int v=V;v>=C[i];v--)dp[v]=max(dp[v],dp[v-C[i]]+W[i]);}return dp[V];}int main(){dp.assign(V+1,INF);//dp初始化为负无穷dp[0]=0;cout<<ZeroOnePack();    return 0;}

递归代码实现也只要稍微改一改条件就行了

#include <iostream>  #include <algorithm>  using namespace std;    #define INF -0x7fffffff#define N 3//物品个数  #define V 10//背包容量    int C[N+1]={0,10,4,5};  //Ci表示第i件物品的费用   （i从1开始）  int W[N+1]={0,2,2,1};   //W[i]表示第i件物品的价值    int ZeroOnePack(int i,int v){  if(v==0)return 0;if(i==0)return INF;    //不选第i件物品      int a=ZeroOnePack(i-1,v);      //必须得保证剩下的容量v能够有C[i]的容量，才能选择第i件物品      int b=v>=C[i]?ZeroOnePack(i-1,v-C[i])+W[i]:INF;      return max(a,b);  }  int main()  {      cout<<ZeroOnePack(N,V);      return 0;  } 

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王川

2014/02/18