最长公共子串

题目：如果字符串一的所有字符按其在字符串中的顺序出现在另外一个字符串二中，则字符串一称之为字符串二的子
串。注意，并不要求子串（字符串一）的字符必须连续出现在字符串二中。请编写一个函数，输入两个字符串，求它们
的最长公共子串，并打印出最长公共子串。 例如：输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB，字符串BCBA和BDAB都是是它们的
最长公共子串，则输出它们的长度4，并打印任意一个子串。
分析：求最长公共子串（Longest Common Subsequence, LCS）是一道非常经典的动态规划题，因此一些重视算法的公司
像MicroStrategy都把它当作面试题。

先介绍LCS问题的性质：记Xm={x0, x1,…xm-1}和Yn={y0,y1,…,yn-1}为两个字符串，而Zk={z0,z1,…zk-1}是它们的LCS
，则：
1. 如果xm-1=yn-1，那么zk-1=xm-1=yn-1，并且Zk-1是Xm-1和Yn-1的LCS；
2. 如果xm-1≠yn-1，那么当zk-1≠xm-1时Z是Xm-1和Y的LCS；
3. 如果xm-1≠yn-1，那么当zk-1≠yn-1时Z是Yn-1和X的LCS；
下面简单证明一下这些性质：
1. 如果zk-1≠xm-1，那么我们可以把xm-1（yn-1）加到Z中得到Z’，这样就得到X和Y的一个长度为k+1的公共子
串Z’。这就与长度为k的Z是X和Y的LCS相矛盾了。因此一定有zk-1=xm-1=yn-1。
既然zk-1=xm-1=yn-1，那如果我们删除zk-1（xm-1、yn-1）得到的Zk-1，Xm-1和Yn-1，显然Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个公
共子串，现在我们证明Zk-1是Xm-1和Yn-1的LCS。用反证法不难证明。假设有Xm-1和Yn-1有一个长度超过k-1的公共子串W
，那么我们把加到W中得到W’，那W’就是X和Y的公共子串，并且长度超过k，这就和已知条件相矛盾了。
2. 还是用反证法证明。假设Z不是Xm-1和Y的LCS，则存在一个长度超过k的W是Xm-1和Y的LCS，那W肯定也X和Y的公
共子串，而已知条件中X和Y的公共子串的最大长度为k。矛盾。
3. 证明同2。
有了上面的性质，我们可以得出如下的思路：求两字符串Xm={x0, x1,…xm-1}和Yn={y0,y1,…,yn-1}的LCS，如果
xm-1=yn-1，那么只需求得Xm-1和Yn-1的LCS，并在其后添加xm-1（yn-1）即可；如果xm-1≠yn-1，我们分别求得Xm-1和Y
的LCS和Yn-1和X的LCS，并且这两个LCS中较长的一个为X和Y的LCS。
如果我们记字符串Xi和Yj的LCS的长度为c[i,j]，我们可以递归地求c[i,j]：
/ 0 if i<0 or j<0
c[i,j]= c[i-1,j-1]+1 if i,j>=0 and xi=xj
\ max(c[i,j-1],c[i-1,j] if i,j>=0 and xi≠xj

//============================================================================// Name        : LongestCommonString.cpp// Author      : Lee// Version     :// Copyright   : Your copyright notice// Description : Hello World in C++, Ansi-style//============================================================================#include <iostream>#include <stack>using namespace std;int getLcs(char * str, char * str2, int m, int n, stack<char> &res) {if (m < 0 || n < 0) {return 0;} else if (str[m] == str2[n]) {stack<char> chd;int len=getLcs(str, str2, m - 1, n - 1,chd) + 1;chd.push(str[m]);res=chd;return len;} else {stack<char> st1;stack<char> st2;int len1 = getLcs(str, str2, m, n - 1, st1);int len2 = getLcs(str, str2, m - 1, n, st2);if (len1 > len2) {res=st1;return len1;} else {res=st2;return len2;}}}int main() {cout << "!!!Hello World!!!" << endl; // prints !!!Hello World!!!char str[] = "bdcaba";char str2[] = "abcbdab";stack<char> st;cout << getLcs(str, str2, 5, 6, st) << endl;while (st.size() != 0) {cout << st.top();st.pop();}cout << endl;return 0;}