最大子段和

动态规划是一个很巧妙的算法，但是能够想得到如何用动态规划，我感觉还是有难度的。不过慢慢来，先从小的动态规划的例子开始。
现在有一个数组，请找出这个数组的最大子段和。（即 max (a[i]+a[i+1]+...+a[j]) 0<=i<=j<=n-1）

现在我们的思路是： 记s[i]为  a[0]到a[i]中包含a[i](即以a[i]为结尾)的最大子段和，则s[i]如何用s[i-1]来表示？

s[i] = s[i-1] + a[i];  s[i-1]>=0 或者

s[i] = a[i]; s[i-1]<0

所以根据s[i-1]来计算s[i]时会遇到这两种情况。计算s[i]时只用到s[i-1]和a[i]， 所以我们可以只保留s[i-1]的值，对于s[i-2]及以前的值可以不保存。

在s[i]中找最大的，就是我们的结果了。

那究竟哪一段是最大的呢。这个方法不唯一。比如，你可以用数组记录每一个s[i]，那如果s[i] = a[i]的时候，说明a[i-1]不在s[i]的计算结果中，a[i-1]就没被选择。

现在我们用一个辅助数组P来记录一下， p[i] = 1 表示 在计算s[i]时 包含了 p[i-1]; p[i] = 0 表示 p[i-1]没有被包含。这样我们就可以找到哪一个子段了。看一下下面的代码吧

 

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1. /** 
2.  * 动态规划:计算最大子段和 
3.  * 算法描述: 
4.  * 数组a 有n个元素, 记 s[i] 为从a【0】到a[i]中，包含a[i]的最大子段和 
5.  * 则: s[i] 的值为:  s[i-1]>0时, s[i-1]+a[i] 
6.  *                  否则 a[i] 
7.  */  
8. #include <stdio.h>  
9.   
10. int maxSub(int *a, int n)  
11. {  
12.     int i=0, max=0, max_pos = 0;  
13.     int si_1=0, si = 0;//分别记录s[i-1], 和 s[i]的值  
14.     int *p = (int *)malloc(n*sizeof(int)); //p[i] 助于记录哪些单元被选择, p[i]=1 表示s[i]计算的结果中中使用了s[i-1]的值  
15.       
16.     if (p==NULL)  
17.         return -1;  
18.     max = si_1 = a[0];  
19.     p[0] = 0;  
20.     for (i=1; i<n; i++){  
21.         if (si_1<0){  
22.             p[i] = 0;  
23.             si = a[i];  
24.         } else{  
25.             p[i] = 1;  
26.             si = si_1+a[i];  
27.         }  
28.   
29.         si_1 = si;  
30.   
31.         if (si>max){  
32.             max = si;  
33.             max_pos = i;  
34.         }  
35.     }  
36.   
37.     //找到最大子段和的位置  
38.     for (i=max_pos; i>=0; i--)  
39.         if (p[i]==0)  
40.             break;  
41.   
42.     //即i..max_pos为最大子段和的元素  
43.     printf("%d--%d:%d\n", i, max_pos, max);  
44.   
45.     free(p);  
46.     p = NULL;  
47.     return max;  
48. }  
49.   
50. int main()  
51. {  
52.     int n = 10;  
53.     int a[10] = {3, 5, 6, 10, -2, -5, 3, 5, -112, -324};  
54.   
55.     maxSub(a, n);  
56.   
57.     return 0;  
58. }