主析取范式与主合取范式

主析取范式与主合取范式

 

定义    设A为恰含命题变元p₁,…,p_n的公式。公式A^'称为A的主析（合）取范式（majordisjunctive（conjunctive）normal form），如果A^'是A的析（合）取范式，并且其每个合（析）取子句中p₁,…,p_n均恰出现一次。

据定义，例1.21中公式┐p→┐(p→q)的主析取范式是(p∧q)∨(p∧┐q)，而其主合取范式则应是(p∨q)∧(p∨┐q)。

     例1  求公式(p∧q)∨r的主析取范式及主合取范式。

    (p∧q)∨r

     (p∧q∧(r∨┐r))∨((p∨┐p)∧(q∨┐q)∧r)

     (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)

     (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)

    此即所求的主析取范式。另外

(p∧q)∨r

(p∨r)∧(q∨r)

(p∨(q∧┐q)∨r)∧((p∧┐p)∨q∨r)

(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(p∨q∨r)∧(┐p∨q∨r)

(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨r)

最后一式即为所求的主合取范式。

**** 我们总结一下利用等价推演求公式的主析（合）取范式的方法步骤：

第一步：求出该公式的析（合）取范式；

第二步：简化各子句.除去范式中所有恒假（真）的合（析）取子句，即化掉含有互补文字对的合（析）取子句；将合（析）取子句中同一命题变元的多个出现合并为一个；

第三步：对析（合）取范式中合（析）取子句不是每一变元都出现的，利用pp∧tp∧(q∨┐q)或pp∨fp∨ (q∧┐q)把未出现的变元补进来，并用分配律将其展开，最后得到给定公式的主析（合）取范式。

现在我们要讨论指派与两种范式之间的联系。

很明白，要使主析取范式取值1，只要使其一个合取子句取值1，从而须使这一子句中的每个文字都取值1，即令正文字中命题变元取值1，而令负文字中命题变元取值0。换言之，由主析取范式的一个合取子句可确定一个弄真原公式的指派；反之，亦可由弄真原公式的一个指派确定其主析取范式中的一个合取子句。弄真公式的指派与主析取范式的合取子句是一一对应的。例如，例1.23中公式的主析取范式有五个合取子句，它们分别对应于5个弄真公式的指派：

        p∧q∧r                1,1,1

            p∧q∧┐r              1,1,0

            p∧┐q∧r              1,0,1

            ┐p∧q∧r              0,1,1

            ┐p∧┐q∧r            0,0,1

    类似地，要使主合取范式取值0，只要使其一个析取子句取值0，从而须使析取子句中的每一文字取值0，即令正文字中命题变元取值0，而令负文字中命题变元取值1。换言之，由主合取范式的一个析取子句可确定一个弄假原公式的指派；反之，亦可由弄假原公式的一个指派确定其主合取范式中的一个析取子句。弄假公式的指派与主合取范式的析取子句是一一对应的，只是对应方式刚好相反，正文字对应0，负文字都对应1。例如，例1.23中公式的三个析取子句，如下对应于三个弄假指派：

p∨q∨r                0,0,0

            p∨┐q∨r              0,1,0

            ┐p∨q∨r              1,0,0

    由以上分析，我们可以进一步得到下述结论：

    （1）每公式的主析取范式和主合取范式都是唯一确定的，因为任一公式的弄真指派及弄假指派是完全确定的。

    （2）永真式，例如p∨┐p，没有主合取范式，因为它没有弄假指派。永真式只有主析取范式，它包含所有可能的合取子句（p∨┐p的主析取范式为其自身），因为一切指派均弄真它。为讨论方便，约定永真式的主合取范式为t。

    （3）永假式，例如p∧┐p，没有主析取范式，因为它没有弄真指派。永假式只有主合取范式，它包含所有可能的析取子句（p∧┐p的主合取范式为自身），因为一切指派均弄假它。为讨论方便，约定永假式的主析取范式为f。

（4）n个命题变元的主析取范式及主合取范式都有 个，因为不同的合取子句及析取子句都是 个，而两种主范式都是从 个子句中取若干个（0,1,…, 个）子句组成的（取0个子句组成t或f）。我们知道 + + … + = 。从真值表的角度看也是如此。一张真值表（确定了弄真指派和弄假指派）恰对应一个主析（合）取范式。因此，n个变元的真值表有多少种，便相应地有多少n个变元的主析（合）取范式。事实上，n个变元的真值表必有 行，对应于 个可能的指派，而最后一列的每一行有0，1两个可能的值，因而这一列可能的取值状况有 种，从而生成 张不同的真值表。

（5）由于每一公式均有主析（合）取范式，因此，无限多的含n个变元的公式可以分作 （有限）个类，这一类公式都逻辑等价于它们共同的主析（合）取范式。