HDU 1423 Greatest Common Increasing Subsequence

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最长公共单调递增子序列（LCIS）：

方法一（O( n^2 )）：

       最长公共上升子序列（LCIS）的O(n^2)算法

       预备知识：动态规划的基本思想，LCS，LIS。

       问题：字符串a，字符串b，求a和b的LCIS（最长公共上升子序列）。

       首先我们可以看到，这个问题具有相当多的重叠子问题。于是我们想到用DP搞。DP的首要任务是什么？定义状态。 1定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。 

为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。

我们来考察一下这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。这个状态依赖于哪些状态呢？

首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。

那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i） 于是我们得出了状态转移方程： a[i]!=b[j]:   F[i][j]=F[i-1][j] ，a[i]==b[j]:   F[i][j]=max(F[i-1][k])+1 1<=k<=j-1&&b[j]>b[k] 不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。 但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。 如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令F[i][j]=max+1。
最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。

代码：

#include<iostream>#include<string.h>#include<cstdio>using namespace std;const int N = 505;int num1[N],num2[N],f[N][N];int main(){int t,n,m;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num1[i]);scanf("%d",&m);for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&num2[j]);memset(f,0,sizeof(f));int answer=0 ;int ma ;for(int i=1;i<=n ;i++){ma=0;for(int j=1;j<=m ;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(num1[i]>num2[j]&&f[i-1][j]>ma)ma=f[i-1][j]; if(num1[i]==num2[j])f[i][j]=ma+1;}}for(int j=0;j<=m;j++)answer=max(answer,f[n][j]);printf("%d\n",answer);if(t!=0)printf("\n");}return 0;}

方法二（O（nm））：

其实还有一个很好的一维的算法。在此基础上压掉了一维空间（时间还是平方）。i循环到x的时候，F[i]表示原来F[x][j]。之所以可以这样，是因为如果a[i]!=b[j]，因为F[x][j]=F[x-1][j]值不变，F[x]不用改变，沿用过去的就好了，和这个比较维护更新得到的max值依然是我们要的。而a[i]==b[j]的时候，就改变F[x]的值好了。

设题目给出a[],b[]两个序列。f[j]表示b序列到j的时候，与a[？？]序列构成最长公共上升子序列的最优解。其中a[？？]序列，从1到n枚举过来。如果某一个时刻a[i]==b[j]，那么显然，我们就应该在0到j-1中，找一个f值最大的来更新最优解。这和求上升子序列是思想是一样的。另外，在枚举b[j]的时候，我们顺便保存一下小于a[i]的f值最大的b[j]，这样在更新的时候，我们就可以做到O(1)的复杂度，从而将整个算法的复杂度保证在O(nm)

代码：

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<map>#include<string>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<vector>#include<queue>#include<algorithm>using namespace std ;const int INF = 99999999 ;const int MX = 505 ;int n,m ;int f[MX],a[MX],b[MX] ;int max(int x,int y){    return x > y ? x : y ;}int LCIS(){    memset(f,0,sizeof(f)) ;    for(int i=0 ;i<n ;i++)    {        int k=501 ; // 必须定义成边界值，不能定义成0，        for(int j=0 ;j<m ;j++)        {               // k定义成0 时 5 5 4 3 2 1 5 5 4 3 2 1 这组过不了            if(a[i]==b[j]&&f[j]<f[k]+1)                 f[j]=f[k]+1 ;            if(a[i]>b[j]&&f[k]<f[j])               k=j ;        }    }    int ans=0 ;    for(int i=0 ;i<m ;i++)      ans=max(ans,f[i]) ;      return ans ;}int main(){    int T ;    scanf("%d",&T) ;    while(T--)    {        scanf("%d",&n) ;        for(int i=0 ;i<n ;i++)           scanf("%d",&a[i]) ;        scanf("%d",&m) ;        for(int j=0 ;j<m ;j++)            scanf("%d",&b[j]) ;        printf("%d\n",LCIS()) ;        if(T)  printf("\n") ;    }    return 0 ;}

打印路径（POJ 2127）：

代码：

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<map>#include<string>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#include<vector>#include<queue>#include<algorithm>using namespace std ;const int INF = 99999999 ;const int MX = 505 ;int n,m ;int f[MX][MX] ;int p[MX][MX],path[MX] ;int a[MX],b[MX] ;int max(int x,int y){    return  x > y ? x : y ;}void LCIS(){    int ans=0,k,temp,p1,p2 ;    memset(f,0,sizeof(f)) ;    memset(p,0,sizeof(p)) ;    memset(path,0,sizeof(path)) ;    for(int i=1 ;i<=n ;i++)    {        k=0 ; temp=0 ;        for(int j=1 ;j<=m ;j++)        {            f[i][j]=f[i-1][j] ;            if(a[i]>b[j]&&f[i-1][j]>k)            {                k=f[i-1][j] ;                temp=j ;            }            if(a[i]==b[j])            {                p[i][j]=temp ;                f[i][j]=k+1 ;            }            if(f[i][j]>ans)            {                ans=f[i][j] ;                p1=i ;                p2=j ;            }        }    }    printf("%d\n",ans) ;    int len=ans ;    if(ans>0)        path[ans--]=p2 ;    while(ans&&p1&&p2)    {        if(p[p1][p2]>0)        {            path[ans--]=p[p1][p2] ;            p2=p[p1][p2] ;        }        p1-- ;    }    for(int i=1 ;i<len ;i++)      printf("%d ",b[path[i]]) ;      printf("%d\n",b[path[len]]) ;}int main(){    while(~scanf("%d",&n))    {        for(int i=1 ;i<=n ;i++)// 必须以一开始！！           scanf("%d",&a[i]) ;        scanf("%d",&m) ;        for(int j=1 ;j<=m ;j++)           scanf("%d",&b[j]) ;        LCIS() ;    }    return 0 ;}