克莱姆法则

来源：互联网发布：js json转换对象数组编辑：程序博客网时间：2024/04/28 23:45

克莱姆法则

基于线性方程组的解空间理论，线性方程组有唯一解当且仅当有效方程数等于未知数的个数。这时，可以运用各种方法具体求出唯一存在的解。克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，大多数线性代数教材都会提到。例如对于如下的线性方程组：

${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}}$

运用克莱姆法则，这个方程组的解可以如下：

$x={\frac {D_{x}}{D}},\qquad y={\frac {D_{y}}{D}}$

其中， $D_{x},D_{y},D$ 分别是如下三个行列式：

$D=\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|$ , $D_{x}=\left|{\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|$ , $D_{y}=\left|{\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|$

对于更一般的情况：

${\mathbf {A}}{\mathbf {x}}={\mathbf {b}}$

解可以由同样的公式给出：

${\begin{cases}x_{1}={\frac {D_{1}}{D}}\\x_{2}={\frac {D_{2}}{D}}\\\vdots \qquad \vdots \\x_{n}={\frac {D_{n}}{D}}\end{cases}}$

其中的

$D=\det(A)$ ,

$\forall 1\leqslant i\leqslant n,\,\,D_{i}=\det(A_{i})$ ,

$A_{i}$ 是将矩阵 $A$ 的第i纵列换成向量b之后得到的矩阵。

可以看出，这些表达式只有在 $D=\det(A)$ 存在并且不等于0的时候才是有意义的，这点只有在有效方程数等于未知数的个数的时候才能得到保证。

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