九度1084解题报告

http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1084 整数拆分的题。

根据这几天的做清华真题的情况，可以看出，清华超爱出数学类的题目，考察学生的数学基础和找规律的能力。这道题，乍一看是要找个什么公式或者规律来解决，其实仅仅用dp就可以解决，也就是说，要找出拆分种类的递推规律。本题主要有两条规律，即要分奇偶讨论。

当要拆分的数为奇数时，其拆分种类与上一个偶数相同，其实就是在上一个数的各拆分上+1，我一开始怀疑，如果原拆分中也含1,将两个1换成一个2，会不会又是一种新的拆分，事实上不会，因为偶数的拆分中1一定是成对出现的，如果新加的1与原来的一个1凑成一对，那么把多出来的一个单1去掉，一定是上一个偶数的一个拆分。因此，一个奇数的拆分与它上一个偶数的拆分一定一样多。这个规律比较明显。

而当要拆分的数为偶数时，规律就比较难找了。上一个奇数的各拆分加1肯定构成新的拆分，而上一个奇数的带不成对1 的拆分，与新加的1凑成一对，也构成新的拆分，进而不断向上凑，很难得出有多少拆分。于是，我们考虑另一种分类方法：将拆分分为带1的拆分和不带1的拆分。不带1的拆分，最小数为2，故整个拆分可以被2整除，因此数n不带1的拆分数应该和n/2的所有拆分相等。而带1的拆分，其实和上一个奇数相同，因为带1的拆分至少有两个1，去掉一个1后，即n-1的拆分。

找到了规律，用dp就很方便了，代码如下：

#include <stdio.h>#define MAX 1000002#define MOD 1000000000long long dp[MAX];int main(){dp[0]=dp[1]=1;for (int i=1;i<=500000;++i){dp[2*i]=(dp[2*i-1]+dp[i])%MOD;dp[2*i+1]=dp[2*i]%MOD;}int n;while (scanf("%d",&n)!=EOF){printf("%lld\n", dp[n]);}return 0;}