阿里巴巴笔试题2(转载)

23、一个骰子，6面，1个面是 1，2个面是2， 3个面是3， 问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次！

解：（没学过《组合数学》的请略过）

设P（N=n）表示第n次（n>2）抛出后1，2，3都出现的概率，问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.

写程序求解

#include <iostream>

[cpp] view plaincopy

1. using namespace std;  
2. float f(float x)  
3. {  
4.    return (1/(1-x)/(1-x)-1-2*x);  
5. }  
6.   
7. int main()  
8. {  
9.    float p=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;  
10.    e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));  
11.    cout<<e<<endl;  
12.    return 0;  
13. }  

在Visual Studio下的运行结果为：7.3

答案7.3

24、一个有趣的抛硬币问题
假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。
上面这个题目我第一次见到是在pongba的TopLanguage的一次讨论上，提出问题的人为ShuoChen，当时我给出了一个解法，自认为已经相当简单了，先来考虑一下抛硬币的过程：首先先抛一枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛一枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么又需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系：
　　T = 1 + 0.5T + 0.5( 1 + 0.5 * 0 + 0.5T) 
解方程可得到 T = 6。
或者根据公式，需要连续抛出n个字的一般情形，结果相当简洁：Tn = 2^(n+1) -2，其中Tn为首次出现连续的n个字的期望投掷数。
参考链接    http://www.cnblogs.com/atyuwen/archive/2010/09/12/coin.html

25、问题描述：
12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种?
这个笔试题，很YD，因为把某个递归关系隐藏得很深。

问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列，然后，选择6个人排在第一排，那么剩下的6个肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有6个0，6个1的序列，就对应一种方案。
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0，1对应的人
要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求，0的个数大于1的个数。
OK，问题已经解决.
如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数，这里只是用于栈，等价地描述还有，二叉树的枚举，多边形分成三角形的个数，圆括弧插入公式中的方法数，其通项是c(2n,n)/(n+1)。

23题解答见

http://blog.csdn.net/quanben/article/details/6918209

话少说了，原题集出处：http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/6902917

题目： 一个骰子，6面，1个面是 1， 2个面是2， 3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。

方法： 面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。

这是一个求数学期望的问题，最终是求1，2，3出现至少一次的最短长度的期望。

这样分叉树的每个节点是一个期望状态，而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现1、2、3各至少一次的情形记作L123（即题目所求），将后续期望出现1、2各至少一次（3无关）情形记作L12，而1至少一次（2，3无关）情形L1，其余数值符号类推，则树结构如下（列出4级结构已经足够）：

第一级（树根）第二级第三级第四级别L123掷1->L23掷1->L23同状态  掷2->L3根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标  掷3->L2根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标 掷2->L13掷1->L3根据投掷结果，或继续期待L3，或已经达到目标  掷2->L13同状态  掷3->L1根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标 掷3->L12掷1->L2根据投掷结果，或继续期待L2，或已经达到目标  掷2->L1根据投掷结果，或继续期待L1，或已经达到目标  掷3->L12同状态

接下来，就是要排出方程，因为一共7个未知数，如果排出7个线性方程就能解决问题。

这方程组里的未知数对应上述的状态，而其数值则是一个对长度（投掷次数）的数学期望。

根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：

L123 =p1 (L23+1) + p2 (L13+1)+ p3 (L12 +1) = p1 L23 +p2 L13+ p3 L12 +1

（以这个L123为例，解释，投掷1的概率是p1而由此得到的结果是需要期待后续2和3各至少出现一次，于是长度期望是L23+1，加1是因为投掷了一次，亦即即增进一级）

L23 = p1 L23 +p2 L3+ p3 L2 +1

L13 = p1 L3 +p2 L13+ p3 L1 +1

L12 = p1 L2 +p2 L1+ p3 L12 +1

L1 =p1 + p2 L1+ p3 L1 +1

（这里实际上是 L1 =p1 ·1+ p2 (L1+1)+ p3 (L1 +1) =p2 L1+ p3 L1 +1，因为对L1情形，如果投了1就目的达到终止了）

L2 =p2 + p1 L2 +  p3 L2 +1

L3 =p3 + p1 L3 +p2 L3+1

（以上一开始没注意，多加了悬空的概率项，故计算有误）

其中 p1，p2 和 p3分别是掷出1，2和3的概率，即1/6，1/3，1/2。

于是求解这个方程，得到：

L1 =6， L2 =3， L3 =2

L12 =7， L13 =13/2， L23 =19/56

L123 = 219/30= 7.3 259/36 ~=7.14

故以上如果没有计算错误，该题结果是，平均掷7.3 约7.14次可出现这些面值各至少一次。

在 <<计算机程序设计艺术>>,第三版,DonaldE.Knuth著,苏运霖译,第一卷,508页,给出了证明: 
问题大意是用S表示入栈,X表示出栈,那么合法的序列有多少个(S的个数为n) 
显然有c(2n,n)个含S,X各n个的序列,剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X,但是违背其它条件). 
在任何不允许的序列中,定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置.然后在导致并包括这个X的部分序列中,以 
S代替所有的X并以X代表所有的S.结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列.反过来,对一垢一种类型的每个序列,我们都能 
逆转这个过程,而且找出导致它的前一种类型的不允许序列.例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS.这个对应说明,不允许 
的序列的个数是c(2n, n-1),因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1).[Comptes RendusAcad.Sci.105(Paris, 1887), 436~437] 

验证: 
其中F表示前排,B表示后排,在枚举出前排的人之后,对应的就是后排的人了,然后再验证是不是满足后面的比前面对应的人高的要求.

C/C++ code

[cpp] viewplaincopy

1. #include <iostream>  
2. using namespace std;  
3.   
4. int bit_cnt(int n)  
5. {  
6.     int result = 0;  
7.     for (; n; n &= n-1, ++result);  
8.     return result;  
9. }  
10.   
11. int main()  
12. {  
13.     int F[6], B[6];  
14.     int ans = 0;  
15.     for (int state = 0; state < (1 << 12); ++state) if (bit_cnt(state) == 6)  
16.     {  
17.         int i = 0, j = 0;  
18.         for (int k = 0; k < 12; ++k) if (state&(1<<k)) F[i++] = k; else B[j++] = k;  
19.         int ok = 1;  
20.         for (int k = 0; k < 6; ++k) if (B[k] < F[k]) {ok = 0; break;}  
21.         ans += ok;  
22.     }  
23.     cout << ans << endl;  
24.     return 0;  
25. }  

结果:132 
而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) =132 
注意:c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1) 

估计出题的人也读过 <<计算机程序艺术>>吧. 

PS: 
另一个很YD的问题: 
有编号为1到n(n可以很大,不妨在这里假定可以达到10亿)的若干个格子,从左到右排列. 
在某些格子中有一个棋子,不妨设第xi格有棋子(1 <=i <=k, 1<=k <=n) 
每次一个人可以把一个棋子往左移若干步, 
但是不能跨越其它棋子,也要保证每个格子至多只有一个棋子. 
两个人轮流移动,移动不了的为输,问先手是不是有必胜策略.