数论中的Josehus环问题

来源：互联网发布：淘宝客服奖罚编辑：程序博客网时间：2024/04/30 02:07

数论中的Josehus环问题

这个问题吧，其实从我一开始接触到算法的时候，就开始纠结了。但是至今也没真正懂得其本质含义（冏）。所以，只能转一些别人的博客，记录一下，慢慢研究。不过坑爹的是居然很多人的博客的程序是有BUG的，而且是一个BUG的程序被一堆人转载着。其实，我也是其中转载BUG程序的一个。后来，做题的时候才发现了漏洞的。现在就给出一个正确的程序和解释吧。

下面利用数学推导，如果能得出一个通式，就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程：

（1）第一个被删除的数为 (m - 1) % n。

（2）假设第二轮的开始数字为k，那么这n - 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做一个简单的映射。

   k -----> 0
   k+1 ------> 1
   k+2 ------> 2
   ...
   ...

k-2 ------> n-2

这是一个n -1个人的问题，如果能从n - 1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

（3）第二个被删除的数为(m - 1) % (n - 1)。

（4）假设第三轮的开始数字为o，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。继续做映射。

   o -----> 0
   o+1 ------> 1
   o+2 ------> 2
   ...
   ...

o-2 ------> n-3

这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)

要得到n - 1个人问题的解，只需得到n - 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：

f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)

int JosephusProblem_Solution4(int n, int m){if(n < 1 || m < 1)return -1;vector<int> f(n+1,0);for(unsigned i = 2; i <= n; i++)f[i] = (f[i-1] + m) % i;return f[n];}

还有一个高深的链表法：

struct ListNode{int num;        //编号ListNode *next; //下一个ListNode(int n = 0, ListNode *p = NULL) { num = n; next = p;}};//自定义链表实现int JosephusProblem_Solution1(int n, int m){if(n < 1 || m < 1)return -1;ListNode *pHead = new ListNode(); //头结点ListNode *pCurrentNode = pHead;   //当前结点ListNode *pLastNode = NULL;       //前一个结点unsigned i;//构造环链表for(i = 1; i < n; i++){pCurrentNode->next = new ListNode(i);pCurrentNode = pCurrentNode->next;}pCurrentNode->next = pHead;//循环遍历pLastNode = pCurrentNode;pCurrentNode = pHead;while(pCurrentNode->next != pCurrentNode){//前进m - 1步for(i = 0; i < m-1; i++){pLastNode = pCurrentNode;pCurrentNode = pCurrentNode->next;}//删除报到m - 1的数pLastNode->next = pCurrentNode->next;delete pCurrentNode;pCurrentNode = pLastNode->next;}//释放空间int result = pCurrentNode->num;delete pCurrentNode;return result;}

标准库法：

//使用标准库int JosephusProblem_Solution2(int n, int m){if(n < 1 || m < 1)return -1;list<int> listInt;unsigned i;//初始化链表for(i = 0; i < n; i++)listInt.push_back(i);list<int>::iterator iterCurrent = listInt.begin();while(listInt.size() > 1){//前进m - 1步for(i = 0; i < m-1; i++){if(++iterCurrent == listInt.end())iterCurrent = listInt.begin();}//临时保存删除的结点list<int>::iterator iterDel = iterCurrent;if(++iterCurrent == listInt.end())iterCurrent = listInt.begin();//删除结点listInt.erase(iterDel);}return *iterCurrent;}

再次声明，此文代码和解释非原创。

给出一题说是模板题的题吧，纠结了好久，最后才知道。

题目链接：Click Here~

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;int Josehus(int n,int m){    int s = 0;                    //第一个人的编号    for(int i = 2;i <= n;++i)    //遍历的是总人数，与编号没有任何关系！！！      s = (s+m)%i;    return s;                   //返回最后一个人的编号}int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n),n)    {        int m = 2;        /*假设编号为1的已经出列，则此时从2开始重新编号为1。        所以，此时总人数应该是N-1.而且，我们知道我们在求解的时候        是假设第一个人的编号为0的。所以，现在如果要2是最后出列的则        需要在Josehus的函数中返回第一个值，即0*/        while(Josehus(n-1,m)!=0)m++;        printf("%d\n",m);    }    return 0;}

3 0