2014寒假ACM集训13级PK赛-最佳拟合直线

最佳拟合直线

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题目描述

在很多情况下，天文观测得到的数据是一组包含很大数量的序列点图象，每一点用x值和y值定义。这就可能需要画一条通过这些点的最佳拟合曲线。

为了避免只对个别数据分析，需要进行最佳曲线拟合。考虑N个数据点，它们的坐标是(X1,Y1)，(X2,Y2)...，(XN,YN)。假设这些值中的X是严格的精确值，Y的值是测量值(含有一些误差)。
         

对于一个给定的X，如X1，对应的值Y1与曲线C上对应的Y值将存在一个差值。我们用D1表示这个差值，有时我们也称这个差值为偏差、误差或残差，它可能是正、负或零。类似的，X2...，XN，对应的差值为D2，....，DN。

 我们用D12 + D22 + ... + DN2 作为衡量曲线C拟合的“最佳”程度，这个值越小越好，越大则越不好。因此，我们做以下定义：任何一种类型的曲线，它们都有一个共同的特性，当ΣDi2最小时，称为最佳拟合曲线。注：∑指“取和”计算。 一条曲线具有这一特性时，称之为“最小二乘拟合”，这样的曲线称为“最小二乘曲线”。

本次的计算任务是拟合为一条直线，数学上称之为“线性回归”。“回归”一词看起来有点陌生，因为计算最佳曲线没什么好“回归”的，最好的术语就是“曲线似合”，在直线情况下就是“线性曲线拟合”。

你的任务是编写程序用最小二乘法计算出以下线性方程的系数(斜率a以及y轴的截距b)：

 y = a*x + b   (4.1)

 a和b可以使用以下公式计算：
 
式中N是数据点的个数。注意，以上两式具有相同的分母，∑指逐项加法计算(取和)。∑x指对所有的x值求和，∑y指对所以的y值求和，∑(x^2)指对所有x的平方求和。∑xy指对所有的积xy进行取和计算。应注意，∑xy 与 ∑x*∑y是不相同的(“积的和”与“和的积”是不同的)，同样(∑x)^2与∑(x^2)也是不相同的(“和的平方”与“平方的和”是不相同的)。

输入

 n组整数表示xi，yi ，期中|x|<=10⁶，|y|<=10⁶, n < 15

输出

 最佳拟合曲线参数a和b，a和b各占一行，a 和b精确到小数点后3位。

示例输入

41  62  53  74  10

示例输出

1.4003.500

提示

 

来源

 中国海洋大学第四届朗讯杯初级组

 

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>int main(){    int n,i;    long long hxy = 0,hx = 0,hy = 0,hx2 = 0;    scanf ("%d",&n);    for (i = 0;i < n;i++)    {        int x,y;        scanf ("%d%d",&x,&y);        hxy += x * y;        hx += x;        hy += y;        hx2 += x * x;    }    long long fm = n * hx2 - (hx * hx);    long long fza = n * hxy - (hx * hy);    long long fzb = hy * hx2 - hx * hxy;    printf ("%.3lf\n%.3lf\n",(double)fza/fm,(double)fzb/fm);    return 0;}