关于逻辑的一点体会

书摘

离散数学的基础有三个主要内容：逻辑，集合和函数（《离散数学及其应用第四版》）。

逻辑为什么有这样的地位？书中先讲了三点。

1. Logic has rules. 这些规则给出了数学语句的准确含义。

2. 逻辑是所有数学推理的基础。

3. 逻辑在许多方面的实际应用：计算机的设计，计算机程序的设计等领域。

集合为什么有这样的地位？

所有的离散结构都是从集合构造而来，也即没有集合就没有离散结构。离散结构又正是离散数学大部分内容的研究对象，所以离散数学大部分内容归根结底就是研究集合。

最后函数呢？

函数建立在集合之上，也即没有集合就没有函数。而这里的函数恐怕也是用于集合构造的离散结构上。

 

逻辑

首先说布尔的《The Laws of Thought》，在《编码的奥秘》一书中这样谈到布尔写这本书的目的，布尔认为：由于充满理性的人脑用逻辑去思考，那么，如果能用数学来表征逻辑，我们也就可以用数学来描述大脑是如何工作的。我觉得如果有人让我用一句话概括离散数学里的逻辑，那么这句话就是完美的标准答案。没错，把人脑的逻辑数学化。如何数学化，方法？抽象。数学就是抽象，抽象我们生活中碰到的种种现象，种种问题。但是逻辑是人脑里的东西，是思维的方式，看不见，摸不到，怎么才能去抽象？幸好我们都有嘴，可以发现我们日常生活中说的很多话就是人脑的逻辑的体现。所以可以说自然语言就成了逻辑的载体，抽象的对象就是能够表达出逻辑的自然语言。

 

抽象的对象有了，接下来开始抽象。要抽象成数学范畴的东西，基本的数学是什么？运算符和操作数。那把自然语言的什么东西抽象成运算符，又把什么东西抽象成操作数？那就首先来看自然语言。这样几句话：

小A漂亮而且有钱。

小B长的帅又是北京户口。

小C天天上班迟到而且早退。

这3句话其实都有一个共同的形式：谁p而且q。

其中“p”和“q”是可变的部分，可以用任何具体的话去代换它们；“……而且……”是不变的部分，是这类语句所共同具有的，是“p”和“q”的联系方式。我们可以细心的去总结，会发现几类这样的形式，并且几乎是大家每天都会脱口而出但并没有去深思的。

以上的举例总结一小段和下面这句话来自网上的一个关于逻辑学的文档：

思维的形式结构也叫思维的逻辑形式，它是由逻辑常项和变项组成的。逻辑常项是指逻辑形式中不变的部分，即在同一种逻辑形式中都存在的部分，它有着固定的意义，是区分不同种类的思维形式结构的唯一依据。

所以上面的“而且”就是逻辑常项。“p”和“q”就是变项。类似的有“或”（包括同或和异或），“不是”，“如果，那么”，“当且仅当”等等很多逻辑常项。那么逻辑常项就可以抽象为运算符，变项就可以抽象成操作数。这样根据最基本的6个逻辑常项（《应用》中也称为联接词）就有了最简单的6个逻辑运算符：∧∨⊙→（另外2个非和双蕴含打不出来了L），这仅仅就是符号。而对操作数的选取就比较难说了，书中直接就说明命题是操作数，命题也就是一个有唯一真值的陈述句。但是为什么选择自然语言中这样的句子抽象为操作数？为什么不选择疑问句，感叹句，祈使句？我想是因为这样的句子有其他句子不具备的特点，使其适合作为数学范畴的操作数（特点再整理）。

 

这样可以明白书中所说的从一个或多个已有命题构造新命题，其实是先从对复合命题的研究中，抽象出较简单的命题和联接词，然后再反过来告诉你如何去构造新命题。道理如同拆了东西就知道如何再去组装一样，这应该就是抽象出来再指导生活吧……

 

总之一句话，离散数学里的逻辑本来就是存在于我们每个人的身上，有人把他抽象出来了，就成了学科。而我们永远不要忘记它是怎么来的，这样才能使其像我们的本能一样，而不是书面上的死板枯燥的文字。