猜数字

题目描述：

一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！ 一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个！（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的） 教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能，问第二个，不能，第三个，不能，再问第一个，不能，第二个，不能，第三个：我猜出来了，是144！教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗？

题解：

一、注意到教授给出的数都是正整数，所以设学生A，B，C的各自持有的数字是a，b，c，即

条件1、a>0,b>0,c>0

二、第一轮三个人都不能确定自己持有的数字，可以得出以下结论：

条件2、每个数都是两两不等的。（反证：因为如果相等那么肯定有一个人能够看到对面2个学生相等的数从而第一轮就猜出自己的数字）

三、第二轮前两个人还是不能确定自己持有的数字，可以得出如下结论：

条件3、任何一数不是另一个数的两倍（引申条件2 或 条件2的推论和根据第二轮前两个人没答上来的现象，例如 a=48，b=96，c=144，c在看到96和48时，自己只可能是 144或者是48，但 是如果自己是48，那么B同学早在第一轮就猜出A、C都是48，从而知道B自己是96，但是B并没有在第一轮知道自己是什么。所以这个时候C能肯定自己不是48，那就只能是144了，这样第一轮C就已经知道自己是144了，这与现实矛盾。所以任意一个数不能是其他数的两倍）

四、综合条件1、2、3. C学生的数字c=a+b 或 c=a-b；

分类讨论：

1、假设c=a-b，那么c=a+b就是被否定的，矛盾的（不然C不可能确定地告诉教授自己知道数字，那么可以推论：C知道自己是什么数 一定是C排除了c=a+b和c=a-b中的一种可能而得出肯定的结论的），这样我们来利用三个条件使c=a+b变得矛盾起来，条件1，2 基本上c=a+b是满足的，那么我们令a+b=2b，即c=2b，推出a=b，与条件2矛盾，即：要使c=a+b矛盾那么就得是a=b，这却与条件2矛盾，所以c=a+b不能被否定，所以第一种假设不能成立，C同学不能肯定地知道答案。

2、由于假设1是不成立的，那么必定是c=a+b是成立的，即C同学确定c=a-b是否定的，矛盾的，那么我们依然让c=a-b矛盾，即a-b=2b。又a+b=144；联立求解 得a=108；b=36。

综上a、b、c最后的数字为108、36、144 或者是 36、108、144。现在我们来在知道a=36（或108）、b=108（或36）、c=144的情况下 正向推导一下情况的发展：A的第一轮：A看到 B是108，C是144，这时他得出自己可能是36或者是252。B的第一轮：B看到A是36，C是144，这时他猜自己可能是108或者是180。C的第一轮：C看到A是36，B是108，这时他猜自己是72或者是144。A的第二轮：这时他分析 如果自己是36说的通，而如果自己是252还是说的通所以他还是不能确定自己是什么数。B的第二轮：这时他分析如果自己是108说的通，如果自己是180还是说的通所以他也不能确定自己到底是什呢数。C的第二轮：这时他知道A，B还是不能确定然后C分析自己如果自己是72，那么他很快会注意到自己是A（36）的两倍，然后他站在B的角度去审视这个情况，B看到了36和72，B肯定会猜自己是36或者是108，但是第一轮过后A，B，C三人都不能确定，说明B肯定自己不是36（因为如果这样C在第一轮就看到两个36，马上C就猜出自己是72了），所以第一轮结束的时候B能肯定自己是108了，这样第二轮B肯定会说自己是108；但现实情况是B在第二轮没有说（这是得出条件3的关键），这时A从B的角度回到自己的角度上来，他知道B在第二轮没有说出来，那么自己肯定不是72了，只有144这种可能了，此时激动万分的C在第二轮说出了自己的数字：144！整个推理过程其实就是假设，然后在假设的分支站在别人的角度继续假设分析，这样可以构成一个假设分析树，当在某个节点推出矛盾时就回溯，只有整棵树只有一个最深层叶子时才是唯一确定的正确方案。