SG函数模板
来源:互联网 发布:淘宝erp软件哪个好 编辑:程序博客网 时间:2024/04/27 14:02
首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]
例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
sg[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;
x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;
x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;
x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
计算从1-n范围内的SG值。
f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)
f[]需要从小到大排序,这个模版f是从1开始的。hash数组大小跟f[]大小差不多
1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步,SG(x) = x;
2、dfs
对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x]
例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少?
sg[0]=0,f[]={1,3,4},
x=1时,可以取走1-f{1}个石子,剩余{0}个,mex{sg[0]}={0},故sg[1]=1;
x=2时,可以取走2-f{1}个石子,剩余{1}个,mex{sg[1]}={1},故sg[2]=0;
x=3时,可以取走3-f{1,3}个石子,剩余{2,0}个,mex{sg[2],sg[0]}={0,0},故sg[3]=1;
x=4时,可以取走4-f{1,3,4}个石子,剩余{3,1,0}个,mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;
x=5时,可以取走5-f{1,3,4}个石子,剩余{4,2,1}个,mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
计算从1-n范围内的SG值。
f(存储可以走的步数,f[0]表示可以有多少种走法)
f[]需要从小到大排序,这个模版f是从1开始的。hash数组大小跟f[]大小差不多
1.可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+1);
2.可选步数为任意步,SG(x) = x;
3.可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算
//f[]:可以取走的石子个数//sg[]:0~n的SG函数值//hash[]:mex{}int f[N],sg[N],hash[N]; void getSG(int n){ int i,j; memset(sg,0,sizeof(sg)); for(i=1;i<=n;i++) { memset(hash,0,sizeof(hash)); for(j=1;f[j]<=i;j++) hash[sg[i-f[j]]]=1; for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数 { if(hash[j]==0) { sg[i]=j; break; } } }}
转自:http://www.cnblogs.com/gongxijun/p/3297683.html
下边补充一点东西。
上边那个模版求hash时候并没有考虑f[j]有效长度,在某些题目中可以通过,比如这个。因为在求斐波那契数列时候肯定多求了一个,而就是因为这个会在求hash时候打破循环。
其实总的来说还是这个函数并不严密。因为有的时候f[]是有有效长度的,如果多出了这个长度就会出现错误,如果你的初值都是0,那么就会取到0,如果是-1,那么就会取到-1,肯定不对。比如这个题。
下面这两个模版应该就比较严密了,这个里边的f[]是从零开始的。转自:http://blog.csdn.net/primoblog/article/details/13376057
1、sg打表
//f[]:可以取走的石子个数 //sg[]:0~n的SG函数值 //hash[]:mex{} int f[K],sg[N],hash[N]; void getSG(int n) { memset(sg,0,sizeof(sg)); for(int i=1; i<=n; i++) { memset(hash,0,sizeof(hash)); for(int j=0; f[j]<=i && j < k; j++) //k是f[]的有效长度 hash[sg[i-f[j]]]=1; for(int j=0; ; j++) { //求mes{}中未出现的最小的非负整数 if(hash[j]==0) { sg[i]=j; break; } } } }
2、dfs
//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍 //n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组 int s[N],sg[N],n; int getSG(int x) { if(sg[x]!=-1) return sg[x]; bool vis[M]; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=0; i<n; i++) { if(x>=s[i]) vis[getSG(x-s[i])]=1; } for(i=0;; i++) if(!vis[i]) { sg[x]=i; break; } return sg[x]; }
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