关于最短路径的探讨与证明

在图论中，求MST的Prim算法和求最短路的Dijskra算法非常像。可是我一直都对这两个算法处于要懂不懂的状态，现在，就来总结一下这两个算法。

 

最小生成树(MST)—Prim算法：

算法步骤：

•将顶点集V分成两个集合A和B，其中集合A表示目前已经在MST中的顶点，而集合B则表示目前不在MST中的顶点。

•寻找与集合A连通的最短的边(u,v)，将这条边加入最小生成树中。（此时，与(u,v)相连的顶点，不妨设为Bi，也应加入集合A中。

•重复第二步，直至集合B为空集。

 

正确性证明：

1、由归纳法可知，只需要证明 “每次向集合A中加入一条边后都能保证，集合A这个生成树是关联到集合A中所有点的最小生成树”，就能证明Prim算法的正确性。下面用反证法证明。

2、若A此时是最小生成树，加入边(u,v)(其中u是A中的点，v不是)，加入以后集合为A'，反设A'不是其关联点的最小生成树。则存在某个点k使得连接边(k,v)，去掉边(u,v)能将A'变为关联节点的最小生成树，那么就意味着边权w(k,v) < w(u,v)，而如果这样，那么将节点v加入A时添加的边就是(k,v)而不是(u,v)，矛盾。得证

PS:这里给出一个别的证明：http://www.cnblogs.com/sky-view/p/3250972.html

另外，学习最小生成树的时候，网上的很多博文、资料、题解都并没有给出证明过程而是只给出结论，建议看一下IOI2004吴景岳的论文。

 

最短路——Dijskra算法(求正权图中的最短路)：

算法步骤：

•将顶点集V分成两个集合A和B，其中集合A表示目前已经在求出最短路的节点，而集合B则表示目前没有求出最短路的节点。

•每次将点加入集合A时，都维护一个数组d[i]，表示节点i与起点通过A中的点相连所需要的最短路径长度。

•每次要向A中加入点时，都加入d[i]值最小的，且在集合B中的点。

•不断向集合A中加入点，直到集合B为空。

下图为白书中的伪代码：

 

正确性证明：

1、首先要明确一点，按照Dijskra算法形成的集合A，对任意A中的点i和B中的点j，i点到起点的最短路径已经求出设为d[i]，j点到起点的最短距离设为d[j]，则一定有有d[i] <= d[j]，因为A中的A.size()个点是所有点中离起点距离最近的A.size()个点。

3、假设此时A中所有节点的d[]值即为其最短路，并且即将将B集合中的j点添加到A中。对于j点，它到起点的最短路如果含有边(j, k)，则有两种可能出现的情况：

　　(1)、此时k点已经在集合A中，则可以求出j点最短路d[j]；

　　(2)、此时k点不在A中，此时k点到起点的最短路径上有一条边为(k, k1)，若点k1不在A中，则找点k1的最短路径上的边(k1, k2)。。。一直找到点kt，使得kt在B中，kt最短路径上的边(kt, k(t+1))上点k(t+1)在A中。这样，因为此时要将j点加入A中，且j点和kt点一定不同，所以d[j] <= d[kt]，而因为边权为正，所以d[kt] < d[k]，所以d[j] < d[k] < d[k] + w(j, k) = d[j]，所以此种情况矛盾。所以k点一定在集合A中。

所以，算法正确。