NYOJ 90 整数划分

整数划分

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难度：3

描述

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk， 
其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。 
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不 
同划分个数。 
例如正整数6有如下11种不同的划分： 
6； 
5+1； 
4+2，4+1+1； 
3+3，3+2+1，3+1+1+1； 
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 
1+1+1+1+1+1。 

输入

第一行是测试数据的数目M（1<=M<=10）。以下每行均包含一个整数n（1<=n<=10）。

输出

输出每组测试数据有多少种分法。

样例输入

16

样例输出

11

来源

[苗栋栋]原创

经典的动态规划问题(划分数)：将一个数n划分为最大值不超过m的数相加，当m==n时为n的划分数

设dp[n][m]  表示n的m划分时的方案数

当n=1时，只有一种划分方式{1}；

当m=1时，同样只有一种划分方式{1,1,1,.......}

当n<m时，因为无法取到负数，所以这种情况同dp[n][n]

当n>m时，可以这样看

若划分的方案中含有m则可分为n={m,{x1,x2,....}}  所以对剩余的n-m值在做最大值不超过m的划分(这次划分同样可能再次取到m)得到dp[n-m][m];

若划分中不包含m，则划分的最大值为m-1，于是相当于对n进行m-1划分，得dp[n][m-1]

综上当n>m 时dp[n][m]=dp[n-m][m]+dp[n][m-1];

当n==m时，肯定含个1，即直接划分1次，其次若划分的数都小于m,就是对n的m-1(最大值不超过m-1)划分即dp[n][m-1]

所以为1+dp[n][m-1];

代码如下：

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdlib>#define MAX 15using namespace std;int dp[MAX][MAX];int main(){int M; cin>>M;while(M--){int n; cin>>n;memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){dp[1][i]=dp[i][1]=1;}for(int i=2;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j){dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;}else if(i<j){dp[i][j]=dp[i][i];}else if(i>j){dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];}}}cout<<dp[n][n]<<endl;}}